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Zoologie, Anatomie, Physio- logie comparée. Chimie. 18164 P.iRIS. — IMPAIMERIB GiUTHIER-VILL.4RS ET FILS, QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS, 55. \ MM. G. DARBOUX et J. TANNERY. Hommage de reconnaissance. J. HADAMARD. PREMIÈRE THÈSE. • ••• ^^ i t« • ESSAI SUR UÉTUDE DES FONCTIONS ^•'^UTTT PAR LE^R DËVELOPPEIQSNT DE TAYLOR. .«• ^4 t t » INTRODUCTION. Le développement de Jaylor rend d'importants services aux pia- thématiciens, en raison de sa grande généralité. Lui seul, en effet, per.çnie;t de représenter une fonction analytique quelconque, à certains cas .singuliers près. Depuis les travaux d'Abel et de Gauchy, on sait qu'à toute fonction régulière .dans un certain cercle correspond un 'développement de Taylor, et réciproquement. C'est même ce développement que M. Weierstrass, et, en France, M. Méray emploient pour définir la fqnction. ;Un point a étant donné au hasard, on pourra, en général, former une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de x-^a et qui représentera notre fonction dans le voisinage du point a. Il pourra y avoir exception pour certaines positions particulières du point a. C'est à ces points particuliers que l'on donne le nom de points singuliers. On peut donc dire que se donner une fonction analytique non sin- gulière au point x = o^ c'est se donner une, suite de coefficients a,, H. , • J. HADAMARD. a., . . ., a,„, . . ., tels que la série ]^am^'" ne soit pas toujours diver- gente. Cette série donnera la fonction dans l'intérieur de son cercle de convergence, et d'ailleurs une fonction ainsi donnée est parfaite- ment déterminée, si du moins, avec la valeur de la variable, on se donne le chemin par lequel on y aboutit. C'est, par exemple, sous cette forme que le théorème de Briot et Bouquet fournit les intégrales d'un système d'équations différen- tielles. Mais, si ce mode de représentation est très utile pour démontrer l'existence des intégrales, son emploi est très limité au point de vue de l'étude de ces mêmes intégrales. Le développement de Taylor, en effet, ne met pas en évidence les propriétés de la fonction représentée et semble même les masquer complètement. Cependant on connaît déjà des circonstances où ce développement peut fournir de précieux renseignements difficiles à obtenir par d'au- tres moyens. On sait, en effet, les remarquables propriétés arithmé- tiques démontrées par Eisenstein et M. Tchebichcff sur les séries qui représentent des fonctions algébriques ou exprimables par la combi- naison de fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires en nombre fini. J'ai étudié la question à un point de vue différent, celui qu'indique la théorie générale des fonctions, et d'après lequel le premier problème qui se pose est la recherche des points singuliers. Ce problème est d'ailleurs intimement lié à celui de la continuation de la fonction en dehors du cercle de convergence. Le développement de Taylor ne définit une fonction qu'à l'intérieur d'un certain cercle, à savoir le plus petit qui ait pour centre l'origine et qui passe par un ou plusieurs points singuliers. Si a désigne l'affixe d'un point situé sur le rayon qui va de l'origine à un de ces points sin- guliers, en ordonnant notre série, non plus suivant les puissances de x^ mais suivant celles de a; — a, le cercle de convergence de cette nou- velle série sera compris entièrement dans l'ancien. Il n'en sera pas de même si le rayon qui va de l'origine au point x = a coupe la circonférence primitive en un point ordinaire, et, dans ce cas, la nouvelle série permettra de calculer la fonction pour des valeurs ESSAI SUR L^ÉTUDE DES FOTïGTIONS. de X qui rendaient l'ancienne divergente. Si Ton veut étudier le pro- longement de la fonction en dehors du cercle de convergence, il est donc important de déterminer les points critiques situés sur ce cercle. C'est cette détermination qui fait le principal objet du présent travail. Il existe, à cet égard, une Note de M. Lecornu, insérée aux Comptes rendus de V Académie des Sciences (*), D'après M. Lecornu, l'affixe du point singulier est la limite vers laquelle tend le rapport de deux coefficients consécutifs, lorsqu'on s'éloigne de plus en plus dans la sé- rie. Malheureusement la démonstration donnée par l'auteur est dé- fectueuse, et nous verrons qu'il y a de grandes réserves à faire sur le théorème lui-même. Quant à la méthode qui m'a servi dans cette recherche, les prin- cipes sur lesquels elle repose sont ceux qu'a employés M. Darboux dans son Mémoire bien connu : Sur l'approximation des fonctions de grands nombres (^), dans un but inverse, il est vrai. Partant de certaines séries dont les points singuliers sont connus, M. Darboux en tire des conclusions relatives aux coefficients de ces séries. Mais le principe fondamental du Mémoire, énoncé par son auteur de la façon suivante : « La recherche de la partie principale des coefficients de la » série dépend de la manière dont la fonction devient infinie sur le » cercle de convergence », est celui-là même qui peut servir à l'étude des points singuliers. J'ai divisé ce travail en trois Parties : Dans la première, après avoir introduit une notion préliminaire indispensable pour la suite, je détermine d'une façon générale le rayon de convergence. Les résultats obtenus conduisent immédiatement à un critérium permettant de reconnaître dans certains cas la présence d'un ou plusieurs points singuliers. La deuxième Partie est consacrée à l'étude des discontinuités po- laires. Lorsque la fonction n'a sur le cercle de convergence que de telles discontinuités, on peut la prolonger analytiquement et la repré- senter dans tout cercle où elle est méromorphe. Dans la troisième Partie, je définis ce qu'on peut appeler V ordre (*) Séance du 7 février 1887. (*) Journal de Liouville, 3« série, t. ÏV. M K\ \ J. HADAMARD. dus, trbUvéî' les Jiôinls singuliers, et, dàhs \!àVà les cà'â, carcblêt la fbnctioîi e& toiii poiiit ordinaire dii fcer'clé de cbtlVèrgeii'cfe i[* ). iPtifeMlÈ^fe JPAîittiÈ. 1. InÔus aurons à nous foiill'er, dans ce qui va suiVré, §iir 'q'illéVcJti'è^s principes simples relatifs aux suites infinies, et qiie je vais t'éôùlftèV tout id^aborq. Sôit fâ suite OU «o> '^o • • •) "mj • • • désignent des nombres réels, mais quelconques d^aîneurs. 11 peut arriver, comme premier cas, que cette suite renferme des termes supérieurs a tout nombre donne ; ou encore, que tous les termes aillent en augmentant Vridèlïnîment par Vâfeurs négatives. Écartons pour le moment ces deux hypothèses. Nous Voyons qu'il y aura lieu de répartir les nombres VèeTs, 'd'après leurs relations de grandeur avec les quantités u^ d indice très grand, en deux catégories. cer- ^ au contraire, un nombre rJ appartiendra a la classe inférieure si notice suite contient des termes de rang aussi éloigne qu'on vèùt,'èt qùi*'suf- paâséntD. i A est un nombre de la classe supérieure, il est clair que tous les nombres àiipèrieûrs'à Aappartîéniient à la môme classe; pareillemient, si le nombre B fait partie delà clas^semférièurè, ôn'peùt eh dire autant de tous les nombres moindres aue jB. (^) Plusieurs des résultats contenus dans le présent travail bnt été'commiroi- qués à FAcadémie des Sciences (séances du 28 janvier 1^*8^ 'et' 3 u 'S Vvril 1^8*9). ESSAI SUR L*É¥Ut)É DES FONCTIONS. 5 Or é'èèt hn fall bleft côttttU (fue, daiis ceà côftdîtlôtià, il exîrte un norhbW l servant dé séparation eilt^e les deux dasses, éft sorte que Ift première se compose des nombres plus grands que Z; la seconde^ d^s nombres plus petits que / (* ). Pour déterminer ce nombre, on pourra, par ekéniplé, cottiittéfacer p^r faine Jjrendre à un entier Uisérie des va- leurs depuis — ob jusqu'à -^ 'ce. li arrivera un moment où cet entier variable passera 4^ la blaêse inférieure dans la supérieure. Soient a^ «t à| -h 1 1^ deuk tti^ttibres entiers <»nséÊUtifs qui appartienn^ôiit ainri i dés lèàlég^'es différentes; On divisera rintervalitô (rt,>rt, 4- 1) en n parties égaies et l'on trouvera deux nouveaux nombres «a? ^^a^ — > difiPéraiit de - ^ettioni l'un ^^ un nofRbre 6. l'autre un nombre A. On n partage l'intervalle compris entre Ces deux nohibres fen n partie égales; et poursuivant ainsi indéfiniment, on formera Une ^èrie d'in- tervalles c'oihptîs les uns dans les autres et de plus en plus petits. Ï3'après un tbéorènie coimïi, les nombres obtenus par ce procédé sont lés valètilrè apptoc^ées d^^Ane même quantité, laquelle répond manifes- tement à 'nôtre objèl;. Cette quantité Z, telle que, potir toute valeur positive de e, î^ t appartienne à là classe supérieure et / — e à la classe intérieure, sera dite là 'limité supérieure de la suite (i) pour m infini^ ou simplement la 'limité supérieicre (^ ). Dans le cas précédemïn6n\ exclu, où une partie ^es termes de 'la suite (i) augmenterait indéfiniment par valeurs positives, on bien e'ncidrè lorSijùe tous iraient en au^èntant indéfiniment par valenrs négà^tivés, rùne âe nos deux catégories di^arattrait et la définitioTi (*) Les mois plus petits que, plus grands que n^excluent pas iciTégalité. (*) On pourrait être tenté de prendre les mots limite supérieure dans le sens qui leur est attribué en d^autres occasions (notamment lorsqu^on traite des fonc- tidns d'une variable 'réelle) él qiïi est un peu différent àe celui-ci. En effet, il faudrait alors ne ranger un nombre dans la classe supérieure que lorsqu'il est plus gr^iid que tous les termes delà suite (i), et hoki pas seulement que les 'termefs d'îtftlfce'sutes^mhienférevé. Nous serons donc obligé, lorsqu^on aurait à craindre une 'confusion, d'eûi- ^\t^ér\?i\6c\i\.ï6ïi*liniite sdpir'ieUtepôùr th V/i/7/u/quinie'peUt prêter à aucune ambiguïté. J. HADAMAHD. précédente tomberait en défaut. La limite supérieure devrait être regardée comme égale à -h x dans le premier cas, à — qo dans le second. 2. e désignant toujours un nombre positif aussi petit qu'on veut, il existe des quantités w,„, d'indice aussi élevé qu'on le voudra, com- prises entre / e t^t / H- e, puisque, d'après la définition même de /, la suite donnée contient des termes indéfiniment éloignés supérieurs à / - c, au lieu qu'à partir d'un certain rang elle n'en renferme plus de supérieur i\ / -h 6. Donc on peuty dans la suite (i), trouver une suite partirllr qui ait pour limite l. Bien entendu, il s'agit ici d'une limite, absolument parlant, et non plus seulement d'une limite supérieure telle que nous venons de la définir (*). 11 pmit même se trouver, comme cas particulier, que u,„ s'approche indéfiniment de / pour toutes les valeurs de m suffisamment grandes. 11 en est ainsi, d'après la remarque précédente, lorsque, si petit que soit c, rinégalité u^^ l — £ est vérifiée, à partir d'un certain rang, pour toutes les valeurs de m et non pas seulement pour une infinité d'entre elles. / devient alors pour la suite (i) une véritable limite, au sens ordinaire du mol. Dans ce cas, il nous arrivera de dire que les termes de lu suite {i) tendent régulièrement vers L Cette locution, dont i\ lu rigue\ir on pourrait se pusser, aura l'avantage de bien mar- (juer, sans uUongor le discours, lu différence qui existe entre ce cas purtîoulier et le cas général. Si lu suite donnée est à termes positifs, elle ne peut avoir o comme limite suporieuiH> Si\ns tendre ivguliéixMuent vers cette limite. Car i/„, est supérieur à ■ s, tjuel que soit m. Nous ivmttiH|ueixms encore que la limite supérieure d'une suite n'est ^M I.A uotÙMi At limite ^upt^rieuiv que nous iniroduisons ici est en relatioo *\eo l« théorie de* eusemldes. i>u $«iil que M. i.^ulor dèlinit un r/t.«c*ifi/»/c litrnW dont fait partie toute quan- tité «/ telle \|ue I ensemble |Mritnitif contienne une infinité de termes aussi voisins quVu le veut de y. l>«a« cette terminologie, notr« limite supèrieuoâ serait le plus grand élément dtft Tensemble dèri\*é. ESSAI SUR L ÉTUDK DES FONCTIONS. 7 pas altérée lorsqu'on augmente ou diminue les termes de quantités infiniment petites pour m infini. 3. Au lieu de considérer des quantités m,„ dépendant d'un seul indice, on peut introduire des quantités w^^i, ;„,,..., m ? où figurent j9 in- dices indépendants /n<, /Wj, . . . , nip variables de o à H- qo, et définir d'une façon tout analogue la limite supérieure de Ww„m„...,m pour m, = mj = . . . =^ m^= 00. On formera, à cet effet, les deux classes supérieure et inférieure d'après la règle suivante : un nombre A sera rangé dans la première s'il est supérieur à toutes les quantités u dont les indices m,, m^^ ..., nip dépassent tous un entier N convenable- ment choisi ; un nombre B sera placé dans la seconde lorsqu'on pourra trouver des u plus grands que B et dont les indices soient tous supé- rieurs à tel entier qu'on voudra (*). 4. La notion de limite supérieure va nous permettre de déterminer tout d'abord le rayon de convergence d'une série de Taylor, et de résoudre ainsi d'une façon générale le problème traité par M. Le- cornu (*) dans le cas où le rapport de deux coefficients consécutifs a une limite. Soit (2) /(^) = «o-+-«i^-+"-- . -h a^nO?'" -I- . . . une série ordonnée suivant les puissances croissantes de x. Nous envi- sagerons la suite à termes positifs (3) |a,|, Iv/aa!, ..., y'^a„\ m ) (*) On sait {voir Gantor, Journal de Borchardt, t. 84, p. 242) que Ton peut ramener le cas d^un ensemble à p indices au cas d^un ensemble à indice unique. Il est à remarquer que cette assimilation ne s^applique pas dans la question actuelle. La méthode de M. Gantor oblige effectivement à donner un rang élevé à tout terme dans lequel un au moins des indices est très grand, au lieu que nous ne devons considérer comme infiniment éloignés que les termes dans les- quels tous les p indices auront de très grandes valeurs. (*) Comptes rendus de L'Académie des Sciences, séance du 7 février 1887. Si cette dereière mii^ QQUtknl (k? ts^rwje^ ^^gj^^nU^nl ^ndéfijûpne/it, la série donnée n'est jamais convergenjp^ q^pllç ff}xe§gîlli^ Yi^^^Ugs. Car il existera toujours des valeurs de m en nombre infini pour cha- 4)inie desquelies, | V^m| étant f)itts grand qu^ pLr» le teiwe copi^espon- dant a„iX^ aura un module supérieur & i . S. Ce cas doit donc être Wssé de côté, et bous devons supposer que la suite (3) admet une limite supérieure /. Dojinojis.a qp un module plus petit gue j.» ^oit -.- — Paf hypothèse, f + ;^ appartient & la classe 'SupériewrepaF^Fapport à la ^ke/(3). Donc, à partir d'un certaip rang, chaque auantité | a^ \ est plus petite que / -h - j et le module de yja^x"* est (et reste) inférieur à j — - > nombre *fixe p^lus pefôt gue < , oe qui •montre ^ue la série "y^am^ o&t coftver- gQntc. AUvConteaice^ siiio.us dorwiçwQs.è.a^^un module 73-^ plus grand que ji comme nous savons que, pour une infinité de valeurs de m,'| a^] est supérieur à (/— £)'", la série Iia„,x"^ aurait une infinité de termes plus grands que 1 : ce serait upe série diyergente. Donc le rayo.n de convergence de notre série est p = j- Si, en particulier, le rapport ^^"ty > .tend vfiiiSiune linùte, |'\/a„ii awa la même limite, qui sera bien par conséquent, ainsi que Tavait énoncé M, Lecornu, l'inverse du rayon de convergence. Au lieu de | "\|a„^ , nous aurions pu considérer ( ' ) l'expression —Xi I fl« i, qui est le logarithinc de,lii|prcccdqnte. La limite supérieure de cette nouvelle quantité, pour m infini, aurait donné le loga- rithme de /. (*) ^A<^m\ désigne, cpflan[|e.d'h^l)îludeK!el|)gaçilhnie népérien de \ a« |. ESSAI SUR L ËTUDlfi DES FONCTIONS. JJ 6. Un cas important est celui <>ù la quantité / est nulle, et où^ par suite, I v^l ^^^ ^^^^ ^9 ^^"^^ ^^^ nous TavonB remarqué au n^ 2. En ce casf pour toute valeur attribuée à a?, notre série est conver- gente; car (en désignant par k un nombre quelconque plus petîl \^m I < -| — r> le terme gêné- I ^ I rai sera inférieur à /r"*, C^est-â-dire au terme général d'une série abso- lument convergente. La fonction /(x) est donc une fonction holomorphe dans toute rétendue du plan. 7. Ainsi, lorsque notre limite supérieure est infinie, le développe- ment donné ne définit aucune fonction. Lorsqu'elle est nulle, il définit une fonction entière et permet de la calculer pour toute valeur de la variable. Au contraire, si la limite supérieure l est finie et différente de o, le développement (2) définit une fonction / (x) , mais n'en fournit d'ex- pression que pour les valeurs de x intérieures au cercle de convergence. Le problème qui se pose actuellement est donc l'étude de cette fonction en dehors du cercle ou sur le cercle, et tout d'abord la détermination des points critiques situés sur la circonférence. Dans les fonctions les plus simples, telles que __ > par exemple, l'affixe du point singulier s'obtient en prenant la limite du rapport — ^- On peut donc se demander s'il est possible d'énoncer ce résultat sous forme de théorème général. Pour discuter cette proposition, il est nécessaire d'en préciser la signification. Prise dans son acception la plus étendue, elle voudrait dire que pour toute série où le rapport — — a une limite, le point cor- respondant est le seul point singulier situé sur le cercle de conver- gence. Ainsi comprise, la proposition est manifestement fausse : elle ne s'applique pas, par exemple, à la fonction I — a^ L(, + a.)=2['-^-'^^]^'"- La réciproque est également inexacte : ^^ peut être point singu* H. a TO J. RADAMARD. lier unique d'une fonction représentée par la série (2), sans que le rapi)ort ^-^ tende vers x^ , ainsi que nous en rencontrerons un exemple dans la suite. Au contraire, lorsque le rapport des coefficients consécutifs tend vers une limite, le point qui a cette limite pour affixe paraît être, en général, un point singulier. En tous cas, nous pouvons établir une conclusion très voisine de celle-là. 8. Los résultats précédents nous fournissent en effet un premier critérium permettant de reconnaître les points critiques. Soit X = .i?o un point pris sur le cercle de convergence, et propo- sons-nous de rechercher si ce point est ordinaire ou singulier. Nous pouvons d'abord supposer o^o = i , car nous pourrions ramener le cas général à celui-là par le changement de variable (4) xz=x^y, dans lequel, à la valeur x^ donnée à .r, correspondrait pour y la valeur v = i . Soit alors / un nombre réel compris entre o et i , auquel correspond un point de Taxe réel {/ig* i). Le rayon de convergence de la série Fig. I. sera le rayon du plus grand cercle C décrit du point / comme centre et où la fonction donnée /sera régulière. ESSAI SUR l'ÉTTTDE DES FONCTIONS. Il Si le point x = i est point ordinaire , notre fonction sera holo- morphe dans un cercle c ayant pour centre ce point x = ij et qui coupera le cercle primitif en deux points y et y', par conséquent aussi dans un cercle de centre t et d'un rayon égal à la distance des deux points / et y, laquelle est supérieure à i — /. Si, au contraire, le point a: = i est un point critique, le cercle G devra passer par ce point et avoir pour rayon i — /. Reportons-nous maintenant aux résultats obtenus relativement au rayon de convergence : nous voyons que la condition nécessaire et suffisante pour que le point x = i soit singulier sera fournie par rinégaUté.(*) <«) r-^\ > (sr- laquelle devra être vérifiée, si petit que l'on ait pris e, pour une infi- nité de valeurs de m. 9. Mettons en évidence le module et l'argument de chaque coeffi- cient a, autrement dit posons L'inégalité (6) (élevée au carré) pourra s'écrire gl^ -h '2(m -h \)tgmgm^i cos(a^^, - a,„) -h ... h ( I - £)'" ; *-0 >[ , + „„, + î=(Hiil),.+ ... + UU_,,. les lettres C désignant, comme à l'ordinaire, des coefficients bino- miaux. (*) Il n'y a pas lieu d'écrire rinégalité '-^ < [—t) ' car le rayon de coq vergence de la série (5) ne saurait être inférieur à i — t. / ■ J 12 J. HÀDAMJiHD. Cette forme donnée à Tinégalité (6) permet de trouver des cas particuliers a§se;; étendus où elle est vérifiée. Remarquons d'abord que la somme ^ ^4+* ^m *a-* ^^^ égale à ^am+A+r Ceci se reconnaît immédiatement en supposant que la fono- tion / soit la fonction Le premier membre de l'égalité (6) de- vient alors égal à --^ et, dans Tincgalité (6'), il faut faire g„^ =s i , a^n = G. On trouve alors (7) (i ^tyim-hl) = I -H .•• -f- ^ 2^ ^nn-fi ^m+h-h ^- • • • ' ce qui donne la conclusion annoncée. Supposons maintenant que g^ tende régulièrement (•) vers la. limite i ; que, de plus, pour toutes les valeurs de p et de y suffisam- ment grandes, la différence a^ — a^ soit inférieure en valeur absolue à un angle fixe vp plus petit que - (l'égalité étant exclue). A partir d'une certaine valeur de m, on aura (y) désignant un nombre aussi petit qu'on veut) gm>0 — '0 )'" 1 cos ( 0L,„^f, - - y.„,^f,) > cos ^ ; d'où l'on déduit, en ayant égard à la formule (7), que le premier membre de l'inégalité (6') est supérieur à cos'>J/ ^ _ ~'_\\t{m-^-\) ' ^^ racinejm'^™*^ sera donc (à un infiniment petit près) au moins égale à _ __ — -) c'est-à-dire (si Ton a pris y] suffisamment petit) supérieur à -> car — ' - a pour limite lorsque y] tend verso. L'iné» galité (6') est donc vérifiée et le point :r = i est un point singulier. 1 0. Ce résultat subsisterait alors même que l'inégalité | a^ — a^ I <[ j» (») Voirxi^i. ESS\I SUR L'ÉTUDS DIS FONCTIONS. l3 cesserait d'être vraie pour les valeurs de /> et de 9 ne satisfaisant pas à la condition dans laquelle q est supposé, pour fixer les idées, plus grand que/>, et s désigne un nombre positif fixe. Pour le démontrer, remarquons' d'abord que, pour toutes les valeurs de h inférieures à mSj les évaluations précédentes sont encore appli- cables : le coefficient de t^ est plus grand que C^n^/^^^{l — yj)2w+/i cos^. Soit n le plus petit entier supérieur à ms. A partir de la valeur h =^ n^ nous ne savons plus si le coefficient de t^ est supérieur à l'ex- pression précédente ; nous ne savons même plus s'il est positif; mais en tout cas sa valeur absolue sera moindre que C2,„^^^^(i -f- r/)*^'""*'^ (où t{ désigne encore un nombre très petit), de sorte que le premier membre de l'inégalité (6') sera supérieur à (i-^)*"' (8) ^"*Y |;,_^(,__^)Jt(m-hl) h = n Dans le dernier facteur du coefficient de t^, le second terme cos^(i — y])^'""^^peut évidemment rentrer dans le premier ( 1 -h y)' )^"''^^, moyennant un accroissement infiniment petit donné à y]'. Dans la série qui forme la partie soustractive de l'expression (8), après cette simpli- fication, le rapport d'un terme au précédent, égal à /( ih- yj') ^^ ' — ? , est moindre que ^(i -f- y)') — —-' ^ette quantité est plus petite que i, si l'on a choisi l inférieur à r- ?--> et la série est éerale au pro- (2 -1-5) (IH-T, ) ^ ^ duit d'un facteur fini 1 de module moindre que ^ 1 par son premier terme C^'^^,,^,(* -^-T)')^'""*'"^''- Or, si Ton applique au coefficient C"^,^^,, les formules bien con- nues relatives à la fonction F pour de grandes valeurs de l'argu* l4 ')• HADAMARD. ment, on reconnaît que la racine m'**"* de ce premier terme tend vers - (f "h Yi')^^*/% c'est-à-dire, puisque nous pouvons prendre / 2*5* I — e aussi petit que nous le désirons, vers une limite moindre que _ - La partie soustractive de l'expression (8) est donc infiniment petite par rapport au premier terme et ne modifie pas, par suile, les conclu- sions établies plus haut. Si le rapport -— ^ a pour limite l'unité, la racine m}^"^^ de ^,/i ^^^^ régulièrement vers i et la différence 8^^ am^^ — ol„^ tend verso. Nous reconnaissons que le point j? = i est bien un point singulier si le pro- . duit m8m reste toujours inférieur à un nombre fixe Q. En effet, s'il en est ainsi, la dififérence a^— a^ sera moindre que ^ tant que le rapport ^— ^ ne dépassera pas % • 1 1 . Mais on peut encore s'affranchir d'une partie des restrictions précédentes, car il n'est pas nécessaire que l'inégalité (6) soit vraie* pour toutes les valeurs très grandes de m, mais seulement pour une infinité d'entre elles. Il suffira donc que la série contienne, en nombre infini, des suites interrompues de coefficients • • • > } • • • > satisfaisant aux conditions suivantes : 1° Les rapports — > — ,> —„ sont tous supérieurs à un nombre fixe s; 2° I \/'gfn I tend régulièrement vers i quand m augmente indéfini- ment par des valeurs correspondant à des termes de ces suites ; 3*^ Sia^ et a^ sont deux coefficients pris dans une même suite, la dif- férence a^— oLp est en valeur absolue moindre que ^. A chacune de ces suites, à partir d'un certain rang, correspondra une valeur de m pour laquelle l'inégalité (6') sera vérifiée. ESSAI SUR L ÉTUDE DES FONCTIONS. l5 Si la troisième condition (a^ — a^) <] '\f était remplacée par la double inégalité (10) (y -_ p)0 - ^ < a,- a^ < (q - p)6 ^ '}, la fonction donnée admettrait le point singulier x = e~'^. Ce résultat est équivalent au premier moyennant une transformation (4), effec- tuée avec la valeur e"'^ pour .^o. Sous cette forme, notre proposition se distingue de celles que nous avons données précédemment en ce qu'elle peut, dans certains cas, dé- celer la présence de plusieurs points singuliers. L'existence de suites (9) correspondant à une certaine valeur de 6 n'est, en effet, nullement incompatible avec l'existence de suites analogues, mais pour lesquelles l'angle 6, qui figure dans les conditions (10), aurait des valeurs diffé- rentes. On pourrait même, par ce procédé, former des séries qui admet- traient le cercle de convergence comme ligne singulière. Supposons, par exemple, les nombres rationnels rangés en suite linéaire, comme l'indique M. Gantor, et soit r^ celui qui occupe le rang X. Nous considérons une série dans laquelle, pour toutes les valeurs de m comprises entre (i 4- 5)^ et (i -h 5)^"*'*, le rapport -^^^ sera égal à e^'^''>. Nous aurons une infinité de suites pour lesquelles ce rapport aura la même valeur, car les quantités e^'^^'i"^*^, e*'"^'*^"*"^^ . . . sont toutes égales à e^*'^''^. Le point x = e""^'^'"-* est donc singulier, quel que soit X, et par conséquent le cercle de rayon i est bien ici une coupure. 12. Signalons encore un autre cas simple où l'on reconnaît que le cercle de convergence est ligne singulière. Soit, par exemple, la série (*), (11) 1 -h hx''-h . . -h A^-r*""-!- . . ., qui a été considérée par M. Weierstrass (^) et qui converge dans un (*) c est un enlier positif et b un nombre quelconque. (') Voir DU Bois-Rbymond, Journal de Borchardt, t. LXXIX, p. 3o. l6 J. HADAMARD. V cercle de rayon p = limb '■" = i . Cette série n'est altérée que dans ses ikirç premiers termes par le changement de x en xe '^. ^ oix k el h sont deux entiers arbitraires. Or la fonction correspondante admet nécessairement sur le cercle de rayon î au moins un point singulier x ^x^* Elle aura donc aussi une singularité en chacun des points _ . "^ X -•— Xq C j parmi lesquels on en pourra trouver qui approchent autant qu'on le voudra d'un point quelconque pris sur le cercle. Les mêmes raisonnements s'appliqueront toutes les fois que les in- dices des termes non nuls et de plus en plus éloignés auront un commun diviseur de plus en plus grand. En ce cas, le cercle de convergence sera par conséquent une coupure, ainsi que Tavait démontré M. Lerch (*) dans un cas particulier. M. Weierstrass (*) avait d'ailleurs» constaté ce fait sur la série ( m ) . 15. La démonstration précédente offre cet inconvénient qu'elle fait dépendre le résultat d'une question de divisibilité, en sorte qu'il sem* blerait ne pas subsister nécessairement si, par exemple, on augmentait ou diminuait d'une unité les exposants de quelques puissances de x dans la série (ii). Il n'en est rien, cependant, et l'on peut affirmer que la série (où les c^ sont des entiers croissant») admet son cercle de coni>er^ gence comme ligne singulière , si le rapport J-'^^~ ^ est constam- ment supérieur à un nombre fixe s. Pour s'en convaincre, il suffît de donner à m, dans la formule (6'), (*) Acla mathematica, t. X, p. 87. (') Monatsherichte der kôniffL Acad. der Wiêsenàchaften zu Berlin, août 1880. ^^i- ESSAI SUR L^ÉTUDK DES FONCTIONS, I7 la valeur -^^ oii u est un nombre fixe compris entre i et i -t- 5, et que nous déterminerons ultérieurement (*). Au premier membre, le pre- mier terme non nul est et, d'après les formules déjà employées au n° 10, sa racine 2m*^™*' est, pour une infinité de valeurs de (x, supérieure à /^_ w,!* * Cette expression a son maximum pour u = et devient égale à — -— • Quant aux termes suivants, ainsi qu'on l'a vu plus haut, ils n'in- fluent pas sur le résultat, si l'on a choisi pour / une valeur satisfaisant aux inégalités La proposition est donc démontrée, caries raisonnements que nous venons de faire ne seraient pas altérés si Ton effectuait la transforma- tion (4) avec la valeur Xo = e'^, de sorte que notre fonction admet pour point singulier le point x^ = e'^, quel que soit 6. Bien entendu, le résultat précédent peut subsister, lors même que le rapport -^^ ^ ne serait pas constamment supérieur à s. Il suffit qu'il prenne deux valeurs consécutives supérieures à ^, et cela une infinité de fois, les modules des coefficients correspondants tendant ré- gulièrement vers I . Nous bornerons ici ces remarques préliminaires et, dans les Chapi- tres qui vont suivre, nous traiterons la question à un point de vue tout différent. Les points critiques susceptibles d'être reconnus à l'aide des propo- sitions précédentes sont en effet (ainsi qu'il deviendra évident par la y* ( * ) Si ~ n'est pas entier, il faudra prendre pour m l'entier le plus voisin ce u H. 3 l8 •!. HADAMARD. suite) d'espèces très diverses; au lieu que nous allons maintenant étu- dier les singularités en les distinguant d'après leur nature et en com- mençant par les plus simples, à savoir les singularités polaires. DEUXIÈME PARTIE. 14. Si ta seule singularité située sur le cercle de com^ergence est un pôle y simple ou multiple, Vajffixe de ce point est donné par la limite du rapport — ^, comme on le voit en employant les expres- sions indiquées par M. Darboux (•) pour les coefficients. Par exemple, si la série (2), convergente dans le cercle de rayon p, admet pour unique singularité sur ce cercle le pôle simple a? = a:, , le A 6 coefficient a^ peut se mettre sous la forme — ^ — , "" j où h^ désigne une quantité de module inférieur à i , £ un infiniment petit , et p' un rayon supérieur à p. On voit alors immédiatement que le rapport tend vers x^y et cela de telle façon que la différence soit, à partir «m «flU- d'un certain rang, inférieure à ( -j~-- J ou à Ar*", Ar désignant un nombre fixe plus petit que i . Cette condition nécessaire est aussi suffisante. En effet, pour écrire que le point x = x^ est pôle simple et d'ail- leurs singularité unique sur le cercle de convergence, il suffit d'expri- mer que, en multipliant la série (2)parf 1 — — ), on obtient une série convergente dans un cercle de rayon plus étendu que le premier. Or, en faisant cette multiplication, on trouve pour terme général Le coefficient de ar*" devient donc plus petit que -(,» + £) férence —^ est moindre que /r^. tu * si la dif- (*) Mémoire sur l* approximation des fonctions de grands nombres^ p. i5. ESSAI SUR L ETUDE DBS FONCTIONS. I9 15. Cherchons maintenant dans quels cas notre fonction a pour sin^ gularités, sur le cercle de convergence, plusieurs pôles simples ou multiples. Nous serons tout pareillement conduits à multiplier la fonction donnée /(x) par un polynôme (12) (ep(x) =(i - ^yYi - ~Y'' ' = i-h a^'Ijc -h . . . + A^p^x^, de degré jo, et à nous demander si le produit obtenu est une fonction régulière dans un cercle de rayon supérieur à p. 16. Après la multiplication, les nouveaux coefficients seront donnés par la formule (i3) b,„ = a„+p -h A'"a,„+„ ., -h . . . 4- A">a,„, m+p et devront satisfaire à l'inégalité 1^» ! < I -ht m Considérons alors le déterminant symétrique d'ordre /> -f- 1 , ^mp = /n+l ^//i-»-2 • • • • • • ^mf a • • • a m-^p a. m-hp-hi ..... • • . . ^m-h'ip que la formule (l'i) permet d'écrire a m a m-\-\ .... • •* .•••• a m+p • • • ^/ii-»-2/>-« ^ m+p Sous cette dernière forme, les hypothèses faites sur les a et les b aO i. HADAM\RD. nous font voir immédiatement que D^^ doit être plus petit que (I -4- eX"* —-7 I > où £ a toujours la même signification que précédemment, à savoir, un nombre que Ton peut supposer aussi petit qu'on le veut, pourvu que Ton prenne m suffisamment grand. La limite supérieure, pour m infini, de \ \ D^^^j est donc moindre 17. Réciproquement, supposons que, pour certaines valeurs de P, la limite supérieure (pour m infini) de '\ \ D^p' soit moindre que -pijrt* Soit p la plus petite de ces valeurs, et -^-7 la limite supérieure cor- respondante. Par hypothèse, la limite supérieure de V|D^^^_,| est— • Je dis, en premier lieu, que \ ^ D„^^, j tend régulièrement vers cette limite. En d'autres termes (*), si petit que soit £, à partir d'un cer- tain rang, chaque déterminant D„^^, a un module supérieur à i^r- Nous savons, en effet, quil existe une infinité de déterminants I le" «1 ^m.p • plus grands que les valeurs correspondantes de ( — —* - j ou de a*" ^en posant a = — -;~j d'où —^ = ^"^tÊt )' Si, à partir d'un certain rang, tous satisfont à cette condition, notre conclusion est établie. Dans le cas contraire, on devra pouvoir trouver, et cela aussi loin qu'on le voudra dans la série, un déterminant D^^^, supérieur à «""•, précédé d'un déterminant D^^_, ^, moindre que »"••"•. Or on a, quel que soit in, (14) D^,^.D„ ,.,_, - d;;, ,., = D^_.„D«., ,. Car les mineurs du déterminant D^_,^^ relatifs aux éléments a^_,, a,^^^i, «»*i^,. qui occupent les angles de ce déterminant, sont res- (*> Voir au n* 2, y± ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS. 31 pectivement •^w-+-l,p-n '^m^p—K^ ^m-\,p'-\'i et le mineur du second ordre obtenu par la suppression des deux lignes et des deux colonnes extrêmes est ^m.p-^^ L'égalité (i4) n'est donc que l'expression d'une identité bien connue relative aux déter- minants. Cette égalité (i4) fournit d'ailleurs, d'après ce que nous savons sur l'ordre de grandeur des déterminants D,„^ et D,„^^_2, l'inégalité (i4') D,/n-i,/i-iD^ -i,/»-i — ^L,p-\ I < \^^ , — -ej 2 m OÙ k est un nombre plus petit que i (*). Donnons à m la valeur m^\ nous trouvons D^^,,,^J>a-«-*(i-y^^'% D mr+-l,^— 1 ^^m..p-l >a(i — A-*"'.), d'où résulte déjà que, pour m^ très grand, les quantités | D^^^j j j et D Wa-H, p—\ i^iwo, p-1 I_ e \'Wa-*-t et a I — s I— le seront respectivement supérieures à (a '^ l \ En général, nous allons démontrer que, si l'on a pris le nombre m^ suffisamment grand, on aura, pour toute valeur positive de l'entier /, (i5) D m,-n\;?— i >a(i — Ar="".)[i - Â-'"".-^']...[i — ^="». *-'-«>], (•6)1 D„.,,,^. I > a"'.-(i - A»'".)' [i - A-»"".-"]'-' . . .[i - A»"".-'-)], (•7) "'VI I>m.+/.p-i I > a -^ Ces inégalités sont, en effet, vérifiées pour i = i . Supposons-les dé- montrées pour une certaine valeur de i. Je vais faire voir qu'elles sub- (') A: = (n-e V^ 22 J. HADAMARD. sisteront pour la valeur suivante, et que Ton pourra écrire (•5') D m,4-«-f-l,;>— 1 D ««•-»-*• /»— 1 > a(i — ^»"'.)[i - A^»'».^' j. . .[i - A*"».-«'J, or) V^iD^.^,^,,^_J>a-^— j^. Pour cela, nous ferons m — m^ + / dans Finégalité (14)5 laquelle, en tenant compte de la formule (17), nous donnera D > D mt-*-i,p—i D /w,-4-i— 1,;7— I [i —k^<'^^^'>], dont la multiplication membre à membre avec la formule (1 5) fournit la formule (i 5'). Celle-ci, combinée avec (16), donne l'inégalité (16'). Quant à l'inégalité (17'), elle résulte de la précédente, pourvu que Ton ait choisi pour rn^ une valeur suffisamment élevée ; car il vient successivement 'm:. -hi-hl,p—\ IHa-Hi-t-l >(r - A*"'.)[i — P"'.^"J...[. - A»i"'.-^'i] Il nous suffira donc que Pindice m^ satisfasse à la condition I — Ar* ^ 2 — 6 ' ce qui est évidemment possible. LMnégalité (17) est, dès lors, générale, et notre proposition préli- minaire est démontrée. 18. Cela posé, déterminons les quantités A'»>, A^^', ..., A^^^ par ESSAI SUR L*ÊTDDE DES FONCTIONS. 23 les équations ^m-hp ~T~ ^m ^m-^p'-h "^ ^m ^m+p—2 +•••+• A^^^ ^in-hp-h -f- . . . -h A^ Clf„ = O, 08) j , • > ^*W+2/>-l "f" A^, û5;|,^2/>-2 "J" "^ A^^ Ctf„^2p-i-h -f~ • . • "4- A„, Ctft.^p.-^ = O, et posons Les S pourront être considérés comme donnés par les équations <^m ^m-^p "4- ... -h Ô^, a,^^ ,_;fc -+"••+■ ^m ^«+« = *^' 09) ; ;•; ;-^ •• ' ^m ^m-^'lp- i.'^- . . . -f- O^^ ^m-hip-h '^ ' ' '~^ ^m ^m-i-p "f" 11 = O, en introduisant la quantité auxiliaire ( 20^ il = Clm-i-2p "^" ^m ^fri-i-'2p—t 4" • • • "l~ A^^ €f,„^ p. L'élimination des A entre les équations (i8) et (20) donne ^m,p-l moyennant quoi les équations (19) fournissent T\ih) r\ T\(Â) (22) ô^~-— g :""^~~D î5 — : — :' où D'** , _, désigne un déterminant d'ordre p — i formé avec les coef- ficients a et moindre que f -^rr ) * 24 ^' HAOAMABD. Comme on a les inégalités ■^.D-V<7^^ nD..^.'>i^ I — E I £ celle formule (22) monlre que la limite supérieure de \ Jj i est au plus égale à -f^- La série V 0**', ayant son terme général de Tordre de ( A — e) , est donc couTergente et son reste est aussi du même ordre. A^ tend, par conséquent, lorsque m augmente indéfiniment, vers une limite A*\ et cela de telle façon que la diiférence A*' — A^ reste moindre en valeur absolue que ( 5 "•" ^ ) • Il suffit alors d^écrire la première des équations (18) sous la forme a__--h A • ««K».^, -=- . . — A^-a,„ = V< A* — A*^a_^- * pour reconnaître que la quantité est moindre que ( — ^ ) • Uexistence d^un polynôme ^^ (12^ répondant à la question est donc établie, et nous avons même le moyen de trouver ce polynôme. On devra, d'après ce qui précède, résoudre les équations \^i8 ^ par rapport aux A et chercher la limite des valeurs de AJ| ainsi obtenues, lors- qu'on donne à m des valeurs de plus en plus grandes. LVrreur com- mise en s'arrètant i un certain rang m sera comparable au iti*^"^ terme d'une progression géométrique décroissante de raison f.- 9' ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS. 25 Ainsi les singularités de notre /onction sur le cercle de rayon p se réduisent à des pôles, en nombre égal à p (chaque pôle étant compté avec son degré de multiplicité)^ et dont les affixes sont racines d'une équation que nous savons former (*). Ces pôles exceptés, la /onction est régulière dans le cercle de rayon p'. 19. Pour rechercher si les singularités def(x) situées sur le cercle de rayon p' sont aussi des pôles, il suffirait d'appliquer la méthode précédente au produit /(a::) $^(07). Mais on peut aussi opérer directement sur la fonction /(a:), ainsi que nous allons le montrer. Désignons, en général, par /p la limite supérieure de 'v^|D,„ p| et re- marquons d'abord que le rapport -y^ est égal à p tant que P est moindre que p et à p' lorsque P = p. Pour P^/?, Ip est au plus égal à -^-Tpz^- Car le déterminant D,„ p r r peut s'écrire (23) D,„,r = a m a m-hi a m-i-p- i m ^m+i a m-hi a m+a a m-i-p *m+i f> m-h2 a m-hP a m+P+I ^/n <-P+^— 1 ^rn-^V m-hP—p . b m-^-V-p-^X m+ip-p Plus généralement, la formule (i3), résolue par rapport à a^^p et appliquée plusieurs fois de suite, permet d'exprimer a^^pj ^m-hp-^-t^ • • •? a^.p en fonction linéaire de a,„, a,n-i-\, -.-i cim+p-t ^^ des b. Ces expressions, reportées dans la valeur de DJ^ p, lui donnent une forme analogue à la forme (28) et sur laquelle on reconnaît que la li- mite supérieure de s/\ Dj^^ | est au plus égale à PqIP-P+I P"? (*) Le cas du p61e simple, précédemment éludié,^correspond à /? = i. Les dé- terminants Df„,p~i ne sont autres que les coefficients a^ eux-mêmes. Les raisonnements précédents subsistent, pourvu qu^on ait soin de remplacer les déterminants D,„,p.-, et l^mip-t V^^ Tunité. H. 4 *26 J. BADAMARD. Noos noterons ce fait que la relation lim itesnp.VD^p!<— .^.1 peut être considérée comme exacte à partir de la valeur P = p — i . Supposons maintenant que /p devienne moindre que ^^^y-t-x '* ^^ ^^ q la plus petite valeur de P pour laquelle cet abaissement se produise • q jHiuvant être égal à/> — i ou plus grand ». < >n peut aussi déGnir q comme la plus petite valeur de P pour la- * juello le rapport y-^ devienne inférieur à — . - En particulier, on a •p-i ? oa Si nous nous reportons alors à Tidentité ( i i ). dans laquelle nous changerons p en y, nous voyons que la limite supérieure de est plus petite que P . Dès lors tous les raisonnements donnés au n** 17 peuxent se recom- mencer en remplaçant p par y et — par/^.,, a étant supjMisé égal à /,_, ( I — ^ i et Aà II — £')4 /î" "• La conclusion à laquelle on aboutit est que \ l>^ ^ , lend régu- lièrement vers la limite /^,. 20. Tout j^reillement, nous écrirons un syslénio de q équations I <^^-^ -^ AJ ^7„.H^-. — ... — A,* a^^ * — K^ a^ = o. iï^'\ » ' ESS.VI SUR L ETUDE DES FONCTIONS. 27 analogue au système (i8); et si nous posons si*'=Ar,-Ar (A=.,2,...,y), il viendra ^ >' ^m —- F) n Mais ç' — 2 étant au moins égal à /? — i , la limite supérieure de Vl'-^w,v-2l ^^^ ^^ P^^^ égale à -j-t^zjz\^ c'est-à-dire à /^_2. La racine ,yjième jç ^ma> g^j,^ doue moiudrc que V^— -h £, de sorte que A,Jf ' tend, pour chaque valeur de A, vers une limite A'<*^ Pour trouver l'ordre de grandeur de la quantité il est nécessaire de faire subir aux équations (i8') une transformation. Nous avons vu, au numéro précédent, que les quantités a,^^;,, ^/ii+/>Mj •••? ^m+P sont liées a tï;„, Cùrn^-tj •••) ^m^p-ij ^rrii ^m-f n •*•? 6^+p_p, par un système Sp de P — ^ 4- 1 relations linéaires à coefficients indépendants de m, système qui peut être résolu par rapport à a^^p^ . . . , ^m+p comme par rapport à 6,„, . . ., b„^p_„. On peut donc, au lieu des équations (i8'), écrire les suivantes -•-««'«/«—»> ^m-^q-^p-k- 1 ^^ "/n ^'m-^q-^p ^^ • • • -HB'„r'"6„.. + a>„,^+. •• +am'«»«M — < (25) qui équivalent aux équations (18') moyennant les relations S^. On passe des coefficients B et a aux A', et inversement, par une substitu- tion linéaire S^ à coefficients indépendants de m. I 3o i. HADAMARD. la relation pour effectuer des opérations analogues aux précédentes (* ) et calculer un polynôme ^S^ tel que le produit /$^ soit holomorphe dans un cercle de rayon plus grand que p". On démontrera, comme tout à l'heure, qu'il ne peut exister aucun polynôme Ç" de degré moindre que r. Notre fonction est donc méromorphe à l'intérieur d'un cercle de rayon p^'^r -Ci- Elle admet dans ce cercle r pôles, à savoir p de mo- if. dule Pî S^ — /> de module p', r — q de module p". On pourra continuer ainsi tant que l'on trouvera des valeurs de P satisfaisant à l'inégalité (27) -r la fonction /(x) est méromorphe à l'intérieur d'un cercle de rayon p^^^; elle y admet en tout V^^ pôles {chaque pôle étant compté a^ec son degré de multiplicité). (*) Nous avons utilisé, pour la transformation des déterminants DJiJ'p et des équations (18'), les relations linéaires qui permettent d'exprimer les coefficients cim-i-p^ • • • î ^/n+7 ^^ fonction de a^y . • . > dm-hp-i ^t des b. Les relations analogues qu^il convient d^employer ici sont celles qui donnent a,n^P en fonction linéaire de «;„, . . .,a^+p_t, 6,«, . . ., b,n^g^p-u c„n -- .,C;„^p_^_i (Cm désignant un coefficient du produit /^'); et de même les substitutions des opérations suivantes introduiraient ^,5, ... séries de coefficients. Au reste, il faut remarquer que ces relations ne servent qu'à la démonstration. Elles n'interviennent pas dans le calcul des polynômes ^Jl\ ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 3l Si Ton a f{x) n'admet qu'un seul pôle x =^\ sur le cercle de rayon p^^^ et le polynôme Ç^^-'*^ est égal au produit $^^^(1 — j\ Or, dans le poly- nôme (S^^\ le coefficient de la plus haute puissance de x est lim '"'''^'| , et dans le polynôme $^^^*J, il est lim ,,^" '"'^'^ ■ L'affixe du pôle unique est donc donnée par la formule (28) i = lim ^}^^^^^!^ : -^!i^.^, et les erreurs commises en s'arrêtant aux valeurs successives de m di- minuent comme les termes d'une progression géométrique décroissante ayant pour raison -[^[z^j^- 22. Si nous envisageons la suite des quantités /|, /27 • • • , /p, . • . , nous sommes conduits à distinguer les cas suivants ; 1° A partir d'un certain moment, /p devient nul. La fonction n'a dans tout le plan qu'un nombre limité de pôles. Elle est égale au quo- tient d'une fonction holomorphe par un polynôme entier. 2? Le rapport — tend vers o lorsque P augmente indéfiniment. Notre fonction n'a que des pôles dans un cercle de rayon aussi grand qu'on le veut. Elle est donc méromorphe dans tout le plan. î\ous avons d'ailleurs tous les éléments nécessaires pour former la fonction holomorphe ^{x) qui admet pour zéros les pôles de /(x), avec le même ordre de multiplicité. En premier lieu, les modules des pôles successifs sont les valeurs de ~- Le genre de la fonction G (a;), s'il existe, sera un nombre y tel que la série ^If /-- ) soit convergente. Si ce nombre est égal à i, la fonction G(j;) sera la limite du produit j 32 J. HADAMARD. convergent no-ë) x, étant Taffixe du /i««"* pôle, et par conséquent la limite, pour X infini, du polynôme (iu *^K->=n('-.sv «=1 Si le nombre y est supérieur à i, on sait qu'il faudrait multiplier chacun des facteurs ( i ) par r • ^ " • • Or la somme T] ( ~ "*" ~î "^ • • * "•" "T^i ) <^onstitue les 7—1 pre- n ■ = 1 miers termes du développement de V ( — *—^ ) = — log ^^ ( x ). «=i La fonction G (x) sera donc la limite, pour A infini, de Fexpression où Qi(j^) désigne Fensemble des Y -- i premiers termes dans le déve- loppement de j- logsT^ (x) suivant les puissances croissantes de x. Si enfin il n'existait pas de genre fini, il faudrait calculer les affixes des différents pôles et appliquer telle quelle la méthode de M- Weierslrass. Dans ces différents cas, on peut d'ailleurs obtenir le développement tavlorien de Gcx). La fonction G (x\ est en effet la limite de fonctions holomorphes G ' X = a* -f- a/ X -i- ... — a^^x^ — . . . , où les coefficients a^ peuvent être considérés comme donnés par la formule ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 33 C désignant un contour fermé décrit autour de l'origine et que nous pourrons supposer, pour fixer les idées, intérieur au cercle de conver- gence primitif. Sur ce contour, G^^\z) tend uniformément vers sa limite G(z) quand X augmente indéfiniment et par conséquent, dans les mêmes conditions, a^ a pour limite a^. La fonction G(x) étant ainsi calculée, le produit f(x)G(oc) sera une fonction F (a?) holomorphe dans tout le plan, et dont la multipli- cation des séries /et G nous fournira d'ailleurs le développement; de sorte que nous aurons l'expression de la série donnée sous forme du quotient de deux fonctions entières 3® Le rapport y-^ reste invariable à partir d'une certaine valeur P^^^ f(x) est alors le quotient par un polynôme 9f^^ d'une fonction régulière dans un cercle de rayon p^^^ , mais présentant sur ce cercle des singularités autres que des pôles. C'est à l'étude de cette dernière fonction (dont on peut avoir le développement de Taylor) qu'est ra- menée l'étude de la proposée. 4** Enfin, il peut arriver que le rapport j^ tende vers une limite P différente de o, de sorte que les rayons p^^^ tendent vers R. La fonction /, méromorphe dans chacun des cercles p^^^, admet une infi- nité de pôles dans le voisinage du cercle de rayon R. Nous pourrons chercher à former une fonction G(x) qui admette pour zéros les pôles de /(a:), en appliquant la méthode de MM. Weier- strass et Mittag-Leffler. Nous prendrons d'abord une suite de nombres positifs a^^^ qui ten- dent ( * ) vers o ; puis une suite de quantités positives t^'^ telles que la série Se^^^ soit convergente. Si Vî^(a;) désigne alors le polynôme qui a (^) Les pôles étant ici distribués en nombre infini dans le cercle de rayon R et non point dans tout le plan, nous sommes obligés de modifier légèrement la méthode de M. Weierstrass, qui laisse les quantités a finies. H. 5 CÏ4 J- HADAMARD. pour racines les afftxes des pôles situés sur le cerde de rayon f^^\ amtre- menl dit le quotient -, -logV^^'(.r) sera développable en série uniformément convergente dans le cercle de rayon p<^ — ol^^\ et Ton pourra en retrancher un poly- nôme Q^-{j^) tel que la différence t- log V ' (x) — Q'^^ (x) soit, à Tin- térieur de ce cercle, moindre que v^ . D'ailleurs c*^ — a^ tend vers R, puisque a^ tend vers o; et, par suite, un point quelconque x pris à Tintérieur du cercle de rayon R sera, à partir d'une certaine valeur de X, intérieur à tous les cercles de rayons p^ — a^'. H en résulte que la série ^[^•«^^^'"(-^^-Q'H sera convergente à Tintérieur du cercle de rayon R et que nous pour- rons prendre pour notre fonction G(x) le produit G est donc une limite de fonctions holomorphes G^* ( or ), obtenues en prenant de plus en plus de facteurs dans le produit infini (29). On démontrera d'ailleurs, ainsi qu'il a été expliqué pour le cas où -— tend vers o, que chaque coefficient de G( j ^ est la Rmite, pourX in- fini, du coefficient de même rang dans G ' ^r*. et l'on pourra ainsi développer G en série. La multiplication des fonctions y et G fournira une fonction F holomorphe ôcfalemenl dans le cercle de rayon R. L'étude de la fonc- tion donnée est donc ramenée à celle de deux fonctions F et G, holo- morphes dans le cercle R, mais présentant sur ce cercle des singularités non polaires, et dont on peut obtenir les développements, /"sera donnée par le quotient de ces deux fonctions. KSSAl^SUR l'ÉTUCE DES FONCTIONS. 35 ^. Si (3o) ^(^) = Co -f- C, 07 -h . . . -h G,„a;"* H- . . . désigne une fonction régulière à Tintérieur d'un certain cercle et ne s'annulant pas à l'origine, de sorte que C^ est différent de o, les ré- sultats précédents nous fournissent une méthode pour calculer les zéros de ^{x) à l'intérieur de ce cercle; car les zéros de ^(x) sont les pôles de la fonction (2') /(^)= ^) =ao-ha,x-f- ... -^a,„af' -h ... C'est à cette manière de procéder que revient, au fond, la formule de Bernoulli, qui donne la racine de plus petit module comme limite du rapport de deux coefficients consécutifs dans le développement de la dérivée logarithmique. Il suffit, en effet, pour obtenir cette formule, d'appliquer à la dérivée logarithmique la proposition du n« 14. M. Runge (*) a généralisé la formule de Bernoulli en obtenant sous une forme analogue la v*®"* racine d'un polynôme (en suppo- sant les racines rangées par ordre de module croissant). Les mé- thodes données dans les Chapitres précédents conduisent à des résultats équivalents, mais applicables à une fonction quelconque dans tout cercle où elle est régulière. En supposant calculés les coefficients ^0, . . . , «m? . . • de 7 r~x' la racine de rang P^^^, si elle est seule de son module, sera donnée par la formule (28). Si plusieurs racines ont le même module, on les obtiendra ensemble «omine racistes d'une équa- tion algébrique formée en égalant à o le quotient de deux polynômes $ consécutifs. Le calcul des coefficients a^ et des déterminants D,„.^ à l'aide des coefficients C de la fonction donnée peut d'ailleurs se faire de la faço» suivante. En développant, suivant les puissances croissantes de ar, le produit (*) Acta tnalhemalica, l VI,. p. 3i6. 36 J. HADAMARD. fi^x) Yk x), qui est égal à i , nous aurons, pour délenniner les coeffi- cients a^ les équations (3i) 1 = tf.C., O ^=: a,C, -r ÛT, C,, ..... .............. De ces équations nous tirerons (32) a. = I ' r • c. C^ o o C, C« o o o o C. C, i^C^-' 24. Pour calculer les déterminants D^^^, nous utiliserons les for- mules (20) et ( 2 1 ). Dans ces formules, on suppose que la fonction /( x) a été multipliée par un polynôme i-H A^ X -I- . . . -t- K^ x' tel que le produit V I -»- A^ X H- . . . H- A4 x' » A -r ) = I -h KX Klx^ i^x) manque des termes en x" ~', x*^**'' a*"^*^* , et la quantité (2i; H D «.^ D,.,-. est égale au coefficient de x* '*'. Nous égalerons donc le produit /"( x ) V a^ I -r A^ X -i- . . . -f- A^ x'. en faisant . non plus à i , mais à ^m^p ~ ^m^p*x = • • - = <^m^^p-x = ^- ^m^^p = H, ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS. 3? et nous aurons les équations 1 =Coao, o = C^, d^ (33) o — ^tn^p^u ^o^/«+^-n -t-C,a; m+p-i ' ^ — Cl|„_^.2p_4 ÛJ^ o = C (-1 I />-*-« ^m+p-i HCa. Nous n'avons pas écrit les équations obtenues par la comparaison des coefficients de a?, a;*, ..., a?^, car elles ne serviraient qu'à don- ner la valeur des paramètres auxiliaires A[l\ A|^', ..., A^'^ Les m -hp-h 1 équations-restantes donnent (34) H=: ^0 *^fn,p—\ en posant (35) E,„,^== c c C /IH-/>— 4 'iTH-p 'm-k-2p *p-k-{ O O c. c, o o o G, G, '/►4-1 Ainsi la quantité ^"^"••J? (-0 ' E ne change pas quand on aug- m,p mente ou diminue p d'une unité, m restant le même. Or, pour/) = o, 38 J. ilADAMABD. elle est égale à p^j, > d'après la formule (32). On a donc (36) D«.,= (-.) "•-— ^,-' E„. Qm-^t/^-t-l Telle est l'expression de D„^^, qu'il suffira de reporter dans la for- mule (28) pour calculer la racine Ç. 25. Au lieu de considérer la limite supérieure de \ |amN pour dé- terminer le rayon de convergence, il revient au même, ainsi que nous Pavons déjà remarcjué (n** 5), de chercher la limite supérieure de m La recherche des discontinuités polaires situées sur le cercle de con- vergence peul, dès lors, être regardée comme un cas particulier du problème suivant, que nous allons traiter et dont la solution nous sera utile plus tard : Etant données la série {^i) /{^^ = a, -H «,x-i- ...-h ûr,„.r"-h... et une /onction positix^e qui aus:niente constamment et indéfiniment avec m, mais de telle façon que --\-z r~ f^f^de vers i , soit &> la limite supérieure pour m tn/tm, de — rrr— Exprimer qu**n multipliant la série ( 2^ par un polynôme de de£[ré p conirenablement choisi ii2> ^r^=i-- A' X — A*jr*- ...-h Af j\ on peut diminuer ta râleur de ceiie limite supérieure, c'est-à-dire > t ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS. 39 qu'en opérant sur la noui^lte série /{x)(e(x)=^b^x'-^p L\b comme sur la première et formant la limite supérieure de ' '"' on trouvera une quantité o)' plus petite que û>. Afin de simplifier récriture, nous conviendrons de représenter indis- tinctement par la lettre 6 divers nombres de module inférieur à i , et par la lettre e différents nombres infiniment petits pour m infini. Nous pourrons écrire, avec cette nouvelle notation, (37) bm=a,,^^-h A^*^a,,^^_, + ...-+- A(^)a,,. = 6M-'-^ Dans cette égalité, remplaçons m successiveiûent par m©, m^^ . . ., m^, où m^^ /Wi, .... /w^ sont/? -1- i entiers tous très grands. \ous au- rons ^m^-i-p "+• ^ ^m^+p—i A("a„. = 6Mr', ^mp-+-y> "T" -^ ^in^-hp—i A-pfa„ =eMï-*-'. Nous consïdéreron» maintenant le déterminant d'ordre p + i (38) a m^ a a mf¥-\ m. ^ntp-hi a m^-i-p <^m f-^P Chaque colonne de ce déterminant correspond, comme on le voit, à l'un des indices /Wq, m^, . . ., m^. Le mineur relatif à l'élément a^^^^ pris dans la colonne correspondant à l'indice m/, étant désigné par la notation ... . ? la formule (37) montre que notre déterminant peut se mettre sous la forme rnt m. Ô{p,/J) ^^P' /)o J. HADAMARD. FI y aura donc au moins une valeur de i pour laquelle on aura A^^> I

, et que Ton arrive, en suivant la marche indiquée ci-dessus, ti une limite supérieure moindre que o). Nous pouvons admettre que cette valeur de/> est la plus petite pour laquelle il en soit ainsi, el que par conséquent il existe des déterminants •XT*/ .m^ ^ ^ indices tous aussi élevés qtfon le veut, tels que chacun des quotients -j^.;;-, n ^^^'^ supérieur à MJ•■"^ Pour abréger, nous donnen>ns à ces déterminants le nom de déternîinanis principaux. Ainsi, Ion a. pour un déterminant prtncipaK \r-^' M 7, t = o, ï , 2 p — i\. (M Now? s tc]osïf»Ti iicmnee dans le t^xte ^ubsi^te a for-- ESSAI SUR L*ÉTUDB DES FONCTIONS. 4^ Au lieu du déterminant A^^~*^, nous introduirons un déterminant (£>, défini de la façon suivante : Au-dessous du déterminant A^^~'^ écrivons la ligne a„,.^^, . . . , a,„ _,+p. Nous formons ainsi un tableau rectangulaire (39) «m, 5 • • • • «-»,-. ; ^/rt.+lJ • • ■ • ^/w^,-»-i ; -. . . . . , • • ■ ft • ^w«-»-p-n • • ■ « ^nif^i-^p—t î ^rn,-¥-pJ • • • A ^mj^t+p- (D sera le plus grand déterminant déduit de ce tableau rectangulaire par la suppression d'une des lignes, soit la ligne de rang h. Le nombre h ne pouvant avoir que j9 -h i valeurs, il est clair qu'on po.urra toujours trouver des déterminants principaux à indices aug- mentant tous indéfiniment, et pour lesquels h ait la même valeur. Pro- visoirement, nous ne nous occuperons que de déterminants principaux choisis de cette façon, c'est-à-dire pour lesquels h aura une valeur déterminée, la même pour tous. Le mineur de (lu relatif à l'élément a„.^f,y pris dans la colonne cor- respondant à l'indice /W/, sera encore désigné par la notation ^ . , . Le déterminant (© jouira de la même propriété que le détermi- nant A^^*\ et Ton aura aussi (4o) -j^-^-^= iM|*-'(i = o, ...,/> -i; ^=o, 1,2, ...,A- i,A-f I, ...,/)) Considérons, en effet, l'un des mineurs , . , » que nous pouvons supposer différent de o, sans quoi le quotient correspondant serait infini, ce qui est une manière de vérifier l'inégalité (4^). Nous pouvons déterminer des paramètres Xy (j prenant toutes les valeurs de o à H. .6 42 J. HADAMARD. />, les valeurs h et /Ir exceptées) par les^ — i équations • • • • ) • «■•■■«•.•••••«a. « a« et, si Q désigne le quotient ^ , ., » on aura (42) 2^^^'"'-/ = Q? mais d'autre part, (© étant différent de o, on peut déterminer les coef- ficients ao , a 5 a^ _ 4 , 0L^^^ , .,.. oip par les p équations ^m,-».A = *0^/«, "•~*l^/n,+! •••"'"^A l^//t,-A-| -H3C^_^,a,„ .^_^, "^~ • • • ■+"^^^m,-»-/,s (43)! 1" • » et même, à cause des hypothèses faites sur le déterminant (©, tous les coefficients a seront plus petits que i en valeur absolue. Le coefficient a^ est d'ailleurs différent de o, sans quoi le déterminant Sff^*^ serait nul ; en sorte que nous pouvons résoudre les équations (43) par rapport » ^m.^pj ^m,-^py "> ^"«r-^/» respectivement. Ces valeurs, transportées ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 4^ dans les équations (4 1) ^'' (4^), donnent les relations / (44) (^o«mo -^ H-i «i«.+i -h ... -h (Ap_ia^^^^_, = o, ••• Les coefficients (x^ et [X;^, ayant respectivement pour valeurs sont liés par la relation (45') [A* + a^t [Xyi = - i; d'où résulte que l'un au moins de ces coefficients [k,^ et (jl^ est supérieur à ^, puisque a^ est plus petit que i . Or les deux quotients r^A(p-i)-i et [à(hh)\ féiMp-^n ' égaux respectivement, d'après les équations (44)) ^— et — > sont supérieurs à M**"*. lien est donc de même pour Q, ainsi que nous l'avions annoncé. 27. Gela posé, au tableau rectangulaire (Sg), adjoignons une der- nière colonne composée des éléments ^1»-) ^m-+,î • • M ^ m,,) ^m^^.,î • • M ^mp^/i >«--f-n ) m désignant un indice très grand, mais plus petit que chacun des indices mo, . . . , m«_, . Nous obtenons un déterminant A^fJ,^^ _ , Par hypothèse, 44 J* HADAM.VKD. ce déterminant contient un mineur ., .-rr tel que le quotient p — , , ;" , soit plus petit que Mf'^. Si d'abord i est égal à />, on peut supposer, d'après la manière dont nous avons formé le déterminant ûO, que le mineur en question n'est autre que cD. Supposons maintenant que i soit différent de p. On peut d'abord prendre k = h; car, si k est différent de A, l'identité bien connue entre les mineurs d'un déterminant nous donne (D d^'P' d^^P^ d^^P' â(i,k) d(p,k) ô(i,h) égalité dans laquelle les remarques précédentes permettent de rem- P^^^^" ^ ' ' àî^rry àUj^) i-^spectivement par ^.-^^ Mf- , 0.), ^-^ ce qui conduit à [Ci>— €' à^^p^ > y ^ja>-u>'^j> â^P^ à(ijr) (i-e). Nous pouvons donc substituer le mineur tt^-tt au mineur ^, . ,^ • Mais au mineur ., . , , on peut substituer le déterminant cD. En effet, l élément a^ peut se mettre sous la forme 6M^^, et Ton peut écrire sous cette même forme les coefficients ct^ ^x^ -- -} ci„ ^ ^ k cause des hypothèses faites sur la fonction ç (m). Le déterminant ^ . . étant égal à a. —7 a. a >n--4-A-»-l d(/,/i-hi) '"'' il existe au moins un indice J tel que a /n„+nî à(i,p) '"i''^^ âi^ àihj) diS> d\^p' soit moindre que M""*"*. Or (D est supérieur à -rp— rrM" S On a donc cô;> 1^1 ^^At''^ IM«-^ à{iJi)\M^^ -z' î' ESSAI SUR L ETUDK DES FONCTIONS. 45 et cette inégalité, comparée à l'hypothèse A'" I < nous donne d'où, a fortiori y Mf^S 0)— to'— 6 (46) M? < W^, puisque nous avons supposé m,- plus grand que /n^, et par suite M, plus grand que M^. bn un mot, on peut toujours supposer que le mmeur ^ . , n est autre que (D. Si nous envisageons le système des paramètres a^, a<, ..., a^,.,, tt/i^, , . . ., a^, définis par les équations (43), cette inégalité (46) montre que, pour tout indice n plus petit que chacun des entiers m^, ..., rUf^^ , on a (47) 28. Soit, à présent, un second déterminant principal AJ,^"']^ „ ^, les indices n^^ /^^, ..., /^^_^ étant tous très grands, mais cependant inférieurs aux indices /Wo, . . ., rrio^. . A ce déterminant Aif"^' « cor- respond un déterminant (©' se déduisant du nouveau déterminant A^/^'^ comme co se déduisait de l'ancien, en faisant intervenir un in- dice h que nous supposerons être le même dans les deux cas, conformé- ment à ce qui a été dit plus haut. On peut, avec cette nouvelle série d'indices, former un système d'équations analogues aux équations (43) «n.-HA ao««. ^ * ^/'o-«-l -^O^A-l<^«aW/-l r (43') <^/».-.,+A — ^««>-, ^^^n,.,^^ ^^^/lp-,-K7»' 46 J. HADAMÀRD. Si maintenant, dans l'équation ('17), nous remplaçons n successi- vement par /i^, /i, ^^p-it nous obtenons /> nouvelles équations que le système (43') permet de mettre sous la forme (48) \ , -^^'^A-i— ^>i-i>^«p .-^*-t-^-(^A^» — ^A^^^^/.p-.-^+|-»"••■ Résolvons ces équations par rapport à o'^ — x, , a. — a, a^ — a^ : en ayant égard aux relations nous voyons que, si /lo est le plus petit des entiers z*^, . . . , /i^>«,, on a, pour chaque valeur de X, (49; ^)- *).= \ Cette conclusion a été établie en supposant que tous les n sont plus petits que chacun des m. Mais elle subsiste pour tout système de va- leurs suffisamment grandes des m et des n. Car on peut prendre un déterminant principal auxiliaire formé avec des indices plus grands à la fois que les m et (jue les n. Si a^, . . . , 0L\_^, a"^^,, . . . , a^ désignant les quantités analogues aux a et aux a' calculées à Taide de ce nouveau déterminant principal, Téquation (49)? ayant lieu pour les différences a> — a> d'une part et a{ — a^ d'autre part, est aussi vérifiée par il en résulte que ax tend vers une limite quand les indices m^ mp_^ augmentent tous indéfiniment sans que le déterminant cesse d'être un déterminant principal. ESSAI SUR L ÉTUDE DES FONCTIONS. 4? La limite de ax étant désignée par — A^^ '^, on a, pour n très grand, la relation (5o) A^^'^a, 4- Af/'-'V/,., , ^ . . . -H K^'^a^^p + a,^, = 6 iN^^'^S car la quantité N***'"*"^, étant supérieure à d'après la formule (47)? ^st aussi supérieure à sa limite. On en conclut tout d'abord que A^®^ n'est pas nul, sans quoi, en raisonnant sur la formule (5o) comme nous avons raisonné au n" 25 sur la formule (37), on démontrerait pour le déterminant A^^~*^ une conclusion analogue à celle que nous y avons établie pour le détermi- nant A^^\ ce qui serait contraire à nos hypothèses. Le rapport — =— tend donc vers une limite finie et différente de o, et, par conséquent, la relation (46) subsiste en y remplaçant cD par A^f"*^ Comme toutes les propriétés précédentes découlent de cette relation combinée avec la formule (4o)? oi^ P^tit substituer, dans les considérations que nous venons de développer, le déterminant A^^~*^ au déterminant (D , et sup- poser h=^ p. Dans ces conditions, la relation (5o) devient K^p^a, 4- K^^''a„^, -^ . . . -+- A^*Ja„^^, -h a„^p = N^^'^S Cette relation n'étant autre que la relation (37), nous avons dé- montré que la condition nécessaire trouvée au n" 25 est aussi suf- fisante. Pour obtenir les coefficients A, on voit qu'il faut choisir des déter- minants principaux à indices de plus en plus élevés et résoudre les équations (43) correspondantes. Nous nous étions bornés aux déterminants principaux pour lesquels l'indice h avait la même valeur ; mais cette restriction n'a plus de raison d'être, puisque nous avons vu qu'on peut toujours supposer h = P' En prenant comme valeurs approchées les quantités a calculées à l'aide d'un déterminant principal quelconque, on commet sur 4« HADAMARD. chaque coefficient une erreur moindre qne «.^_^_, , si m^ est le plus petit des indices qui servent à former le déterminant principal. Dans le cas où le nombre p est égal à i , les déterminants A ^~' se réduisent aux coefficients a^ eux-mêmes. Si Ton écrit le polynôme 9 sous la forme 9 = î — - - on voit que x* est la limite de — ^-, mais en se bornant aux valeurs principales de a^^^ c'est-à-dire à celles pour lesquelles le rapport .-^ est très voisin de ci>. Si Ton ne prenait pas cette précaution, on pourrait ne plus arriver au résultat cherché, ainsi que uouf le constaterons sur un exemple. Dans le cas simple par lequel nous avons commencé et qui corres- pond à ITîypothèse si'/w ♦ = e", cette difficulté ne se présentait pas ; nous avons \u que tom* les déterminants X'^*- à indices consécutifs étaient des déterminants principaux. 29. Les paramètres a et z peuvent s'exprimer par des quotients de déterminants. On a déjà, en effet, Q=r di — 1 V-k dAP->> A^-*> d{Lk) et la résolulion d<^ équati<»fi< { 43 j donne la valeur de a^. Ces expressions, reportées dans Tégalité (45), donnent une relation qui peut s'énoncer, d'une façon générale, sous la forme suivante : Soit donné un tableau rectangulaire rSn I a,. K. «î- br. a,. *.. ^p^\* '^p->-l \ p^\ • comprenant p colonnes et /? -)- i lignes. En supprimant la première ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS 49 ligne, on forme un déterminant d'ordre /> : ^2,3 = a» a. C/>> • • • C>n O3 ... £3 a lHr\ I p-¥\ En supprimant la seconde ligne, on forme de même le déterminant A,.,= a. a. a a />-*-« b, . .. /, b, . .. /, b, . .. l. ■ • • • /H-i OÙ nous avons interverti les lignes de façon que le déterminant A,,| se déduise du déterminant ^2,3 par une permutation circulaire effec- tuée entre les lignes première, seconde et troisième du tableau (5r). Enfin la suppression de la troisième ligne fournit pareillement le dé- terminant A...= a. a.» a. h, h.. a p+i / /M-« Supprimons maintenant la deuxième et la troisième ligne, en même temps que la première colonne; puis la troisième et la première ligne; puis les deux premières ; nous obtenons les trois déterminants d'ordre p-x ô. = b, c, * . • 1/ » • • 9 • > • • I A • * . • • V'. • « ^p-^i H. 5o J. HADAMARD ^ 0. b. c. r Cela posé, on aura p-i-i l AH-l / p+\ A^.a S, -h Aj., §2 -h A,,2 s, = o. Ce fait peut se ramener à un autre bien connu, en mettant à gauche du tableau (5i) une colonne formée tout entière de zéros, à l'excep- tion du troisième élément qui sera égal à i. On obtient ainsi un déter- minant o a, 6. o a^ K I «. K o «4 ■ • o a p^\ l /H-l égal à A|.2. Les mineurs relatifs aux deux premiers éléments nuls sont respectivement Aa,, et A,,,, tandis que les mineurs correspondant aux éléments a, et a^ sont S^ et — S,. Entre ces quatre mineurs existe bien la relation car la suppression des deux premières lignes et des deux premières colonnes donne le déterminant S3. 30. On peut étendre la relation précédente à une substitution cir- culaire de n -h I lettres, n étant un entier quelconque au plus égal à p. Dans ce cas, il faudra, pour former le déterminant A, supprimer la /i -h 1 •**""' ligne, et, [pour obtenir le déterminant S, supprimer les n 9 > ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS. 5f premières lignes en même temps que les /^ — i premières colonnes du tableau (5i). La somme des valeurs que prend le produit AS, lors- qu'on permute circulairement les n-h i premières lignes du tableau (5i), est encore nulle si n est pair. Lorsque n est impair, il faut, pour obtenir une somme nulle, faire précéder les termes alternativement du signe -h et du signe — . En un mot, dans tous les cas, on multipliera chaque valeur par -f- 1 ou par — i suivant que la substitution qui a servi à l'obtenir appartient ou non au groupe alterné, et la somme ^n,p — a a. y a n ^^ li-^^l a p^\ L/ a • • • '/ I • • « C'o • • ■ m % ... /„ • • • l^ff^'t « ■ • • . - . • • ■ ' p-* I (->) [*// + (-')" a n — ui-1- » a //-+-! a. a .i—ti ^n-¥1 a., «;M Ci ,1 _!. .| a fH-\ sera identiquement nulle. /I-f-l «-+-2 h p-^S ^/>+< *«— lH-2 ''«— pi-+-s ^/l-f-1 '*/l— JX-+ 1 '/I— |A^-f • • ^71 + 2 ^11+2 hn 2 • • • • • • • • • ■ * • ■ • ■ / />-< /, / •//-f-2 / p+i A. ''/M 2 "/V^ I / /'• ' 52 J. HADAHARD. Toat d^abord ceci a lieu pour /i = 2, ainsi que nous venons de le voir. Pour p=^ n. le déterminant i se réduit à un seul élément, et il vient *ri. /. *.i • /^. — ( - I • • ^a^. «. / /. a m /. n. I a /. /,-.- = /. /. (I. a /..^, /... . Par conséquent, si Ton ^eut démontrer notre proposition pour cer- taines valeurs de n et de /?, on peut la supposer établie, d'une pari pour les sommes S,.^,, d'autre part pour les sommes S,_,,^_|. Or la somm^ 5,^^ est une fonction linéaire et homogène de a a, est multipl b, m • îé par la somme h p^i /!,-. /l.. « -2 P'i I A-^l >. — ( — I b. . h « ■^ I V. • « • • • h. ''» t • m n • /. . /,.! / ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 53 qui est précisément une somme S„.,,^«, ; et il en est de même pour Considérons maintenant un élément a dont l'indice soit supérieur à n-hi, soit a^^i par exemple. Pour avoir le coefficient de a^,+,, il faudra supprimer la dernière ligne et la première colonne dans le dé- terminant A et dans ses transformés. La dernière ligne du tableau (5i) continuera à être représentée par les éléments h^,^^ . . . . , /^,^ , qui figurent dans le déterminant S. On pourra développer encore par rap- port à ces derniers éléments et Ton trouvera, pour le coefficient de chacun d'eux, une somme S,,,^_,. Ces différents coefficients pouvant être supposés nuls, ainsi qu'il a été remarqué précédemment, il en est de même pour S;,^^, comme nous voulions le démontrer. On pourrait même aller plus loin et, au lieu d'opérer simplement la substitution circulaire précédente, effectuer successivement toutes les substitutions d'un groupe de degré n -h i contenant cette substitution. La somme des valeurs du produit Ao, précédées chacune du signe -h ou du signe — , suivant que la substitution correspondante serait ou non alternée, s'annulerait toujours. Car, si F désigne le groupe formé par les puissances de notre substitution circulaire, on sait que les substitutions du groupe donné seront données par un tableau de la forme F T r T r T F où i, T,, ..., T;._, désignent r substitutions. Or, en appliquant à notre produit AS les substitutions T|F, on obtient la transformée de S;,,^par la substitution T (multipliée par -\- i ou - i suivant que T, est alternée ou non), et ainsi des autres. Ces différentes transformées étant nulles, puisque l'égalité S^^^ — o est une identité, notre conclu- sion est établie. Par exemple, la somm^ considérée sera nulle pour tout groupe transitif de degré premier, car un pareil groupe contient toujours une substitution circulaire. Enfin, au lieu du déterminant S, on peut considérer un déterminant A' obtenu, non plus en supprimant n— i colonnes du tableau (5i), mais en lui laissant toutes ses colonnes et lui ajoutant n — i lignes composées d'éléments arbitraires. Car ce déterminant est égal à une 54 •>• HADAM\RD. somme de déterminants S multipliés par des coefficients qui ne dépen- dent que des lignes ajoutées et, par suite, les conclusions obtenues pour le produit AS s'appliquent au produit AA,. TROISIEME PARTIE. 31. Dans cette troisième Partie, nous considérerons une série dont nous supposerons le rayon de convergence ramené à Tunité par la transformation (4)? et nous rechercherons comment la nature des singularités est liée à Tordre de grandeur des coefficients. C'est la marche qu'a suivie M. Darboux, dans le Mémoire précédemment cité Sur l'approximation des fondions de très grands nombres , en supposant d'abord que la fonction considérée admette, autour de chaque point singulier a?©, une partie principale de laïorme — _ — r^> où a désigne un nombre compris entre o et i . Il a étendu les résultats obtenus au cas de a quelconque, en partant des relations qui existent entre les coefficients d'une série et ceux des séries dérivées. Pour appliquer des considérations analogues à des fonctions aussi générales que possible, nous utiliserons la notion de dérivée généra- lisée, telle que l'a présentée Riemann dans son Mémoire intitulé Ver- sucheiner allgemeinen Auffa^ssung der Intégration und Differen- tiation (*). Conformément aux conclusions de ce Mémoire (^), a étant un nombre quelconque, positif ou négatif, entier ou fractionnaire, mais auquel nous ne donnerons cependant que des valeurs réelles, nous désignerons par le symbole D^/(x) une fonction définie de la façon suivante : I ^ Pour a = o (52) \X.f{x)=f{x). (*) RiEXANN, Œuvres complètes,, Ed, Weber et Dedekind, p. 33i-344* {') Riemann introduit dans l'expression de D*/(a?) certains polynômes arbi- traires que nous supprimons ici, parce qu'ils sont inutiles pour notre objet. .. 55 ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS. 2® Si a est négatif, on prendra (53) \Mf{x) = ^^'_^j\x-z)-^-^f{z)dz, Fintégration étant effectuée suivant un chemin rectiligne et /le dési- gnant un nombre tel que la fonction donnée soit régulière entre k eix. Dans l'étude actuelle, toutes les fonctions que nous considérerons étant régulières autour de Torigine, nous prendrons /r = o. Au reste, il convient de remarquer que les intégrales C\x~z)-^ \f{z)dz et f {x~zY^-\f{z)dz se comportent de la même façon au point de vue des singularités (*), ce qui est pour nous le plus important. (*) Soient, en effet, J et J' les deux intégrales en question, prises pour un point ordinaire x de la fonction. Joignons {Jig. 2) les points k el k' par un che- min quelconque ne passant pas par le pointa? et ne coupant aucune des droites kx etk'x. Enfin, du point^comme centre, décrivons entre ces deux mêmes droites un petit arc de cercle mm'. Nous formons ainsi un contour kmm' k' k le long duquel l'intégrale de (x— z)~^-^/(z)dz sera nulle si les points A", k'yX ont été pris intérieurs au cercle de convergence. L'intégrale suivant mm' étant infiiiiment petite avec le rayon du cercle, on voit que la différence entre les intégrales J M' el J' est égale à l'intégrale / (.r — v)-^'*/( -3) /^3, laquelle est holomorphe, excepté sur le chemin kk' . 50 J. HADAMARD. 3° Si a est positif, E désignaat le plus petit entier qui comprend a, on calculera, d'happés les formules (32) ou (53) la fonction Dj."*^/(x), et Ton en prendra la dérivée d'ordre E à la façon ordinaire. Si/(x) est développée en série de la forme (2) /(x) = a. -H «, X -h . . . -h a^Ji'"* H- . . ., il est facile d^obtenîr le développement de D^/{x). Il suffit de partir des formules données par Riemann (' ) pour la valeur de Ti^x^'. Nous écrirons de préférence le résultat obtenu sous la forme (54) .'•'l>y(x)=2«'»r •A/ • ( w H- I — a ) in=0 32. La formule qui donne D^x*" a été trouvée par Riemann en eflectuant dans l'intégrale la transformation z = tx^ ce qui donne D>'" = f— -"-j jf"' (1 - /)—' rdt, et il est à remarquer que, dans l'intégrale qui figure au second membre, on donne à (i — /)"** sa valeur réelle et positive; car c'est seulement à cette condition que cette intégrale est égale à Tim H- I) r(-.a) V{ m -h I — Gt) Si nous opérons la même transformation dans la formule (53), dans rhypothèsc /r = o, nous trouvons (55) x-Dlf^x).-. ^--f\i- f)- \f\U')d(. On voit que cette nouvelle formule (5 >) a l'avantage de donner (•) Loc, cit., p. 343. ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 5'J pour ir*D*/(a?) une valeur parfaitement déterminée, puis(|ue(i — /) *"* devra recevoir sa détermination réelle et positive. 35, Si nous posons a? = e^ et que nous formions le symbole D en considérant / comme fonction de y^ nous obtenons une nouvelle ex- pression, que nous désignons par la notation (Dî/(.^). L'intégrale (53) devient dans ces conditions Nous supposerons la fonction /privée de son terme constant, autre- ment dit s'annulant à l'origine. L'intégrale précédente deviendra dès lors finie pour k = o. En y posant s = IXy nous pourrons écrire, pour les valeurs négatives de a, (.57) cDî/(.) = i^ jf (l J)— /('-) r Dans tous les cas, le développement en série de (ôî/(x) sera le suivant m=0 Pour a négatif, ce développement résulte de la formule connue r{^r"-"^='-^ ) D'ailleurs, le développement de ^^^ = x/'(x) se déduit bien de celui de /(a?) en multipliant le coefficient de af^ par /w, d'où Ton con- dut que le développement de ./^ J s'obtient en multipliant le coeffi- cient de x"^ par m^. Le développement (58) est donc général. De ce développement résulte que si / est développable en série autour de l'origine, on a toujours (oîdo.?./(a-) = (DrV(-^o- H. 8 58 i. hadavàrd. Nous remarquerons aussi qu^il n^existe qu'une seule fonction ^ de- veioppalile en série de Maclaurin et telle que (ôîç(a7) =/(ir) : c'est la fonction 5i. Les développements (54) et (58) sont absolument convergenls «•Il même temps. Nous remarquerons, en effet, que le rapport des coef- ficients correspondants a pour limite i . Pour a entier et positif, ceci se reconnaît immédiatement, car la quantité :^j--^ -j— . se réduit à un polynôme entier en a//, de ilegré a. Pour les valeurs de a non entières et positives, il suffît d'utiliser la valeur asymptotique de r(//i) pour m très grand; on trouve ainsi (i 4- t) — ^ ^ = er^ — ^^ ^ ï— = Texposant a étant plus petit que i. Du reste, il faut remarquer que le mol finie signifîe ici : finie pour chaque intégrale. Il n'est pas nécessaire (|u*ily ait une limite supérieure commune à toutes. 62 J. HADAMARD. vant lé chemin rectiligne, et les raisonnements donnés ci-dessus s'ap- ])liqueront sans modification. Supposons maintenant que x soit toujours TaÛixc d'un point ordi- naire pour la fonction /(x), mais que le fuseau F' renferme des points singuliers de cette fonction. Si la fonction / n'a que des points singuliers formant une suite ponctuelle, on pourra, à l'intérieur du fuseau F', tracer un fuseau F'^ {fig- 5) compris entre deux lignes allant du point o au point .r, et ne renfermant pas de point singulier. Soit F, le fuseau intérieur au fuseau F et qui correspond au fuseau F'^. Nous prendrons l'intégrale (59), non plus suivant le chemin rectiligne, mais suivant uo chemin C intérieur au fuseau F, et nous pourrons refaire les raisonnements précédents en désignant, cette fois, par M l'intégrale / I V(/) | |rf/ 1 (ou, si / s'annule avec a?, l'intégrale / |/V(/)| |rf/|). La fonction repré- sentée par rintégrale (Sg) prise le long du chemin C est donc holo- morphe autour du point considéré. Ainsi, d'après notre nouvelle définition, la fonction ç devient en général multiforme, puisque sa valeur dépend du fuseau F', ; mais elle n'a plus d'autres points singuliers que ceux de la fonction/. . 37. Lorsque / est une fonction régulière à l'intérieur d'un certain cercle, si l'on ne considère que les points singuliers situés sur ce cercle, il est évidemment indifférent de considérer la fonction dans sa défini- tion restreinte, ou, au contraire, dans toute sa généralité. Dans ces conditions, le développement de ç est lié à celui de/ par ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 63 des relations particulièrement simples. Il est clair, en effet, que le coefficient de a;"' dans le développement de ç s'obtiendra en multipliant le coefficient correspondant a,„ de /par la quantité (60) e„ = f\(t) rdt. On peut donc former, et cela d'une infinité de manières, des suites de nombres par lesquels on peut multiplier les coefficients successifs d'une série sans changer ses points singuliers. Soit, par exemple, V«=5^[î,i,(L0-'-,^W(«'0']^ nous trouverons 3,« = ; = — sin(Lm), et, comme on peut, sans modifier les singularités, remplacer /(a:) par xf\x)^ nous pourrons prendre (Gf) • ^m = sin(Lm). 38. Cette valeur de a^ va nous servir à démontrer un fait annoncé dans la première Partie (n** 7), à savoir que la série (2) peut admettre pour point singulier unique sur le cercle de convergence le point x\^ sans que le rapport — *— tende vers J7o- En effet, puisque la transfou- mation précédente conserve les points singuliers, nous aurons manifes- tement fourni la démonstration demandée si nous établissons que le rapport ^J^""^' ne tend pas vers la limite i lorsque m augmente indéfi- niment. Nous considérerons, à cet effet, le résidu minimum de Lm par rap- port à 21:, c'est-à-dire que nous poserons k étant un entier et '>{/ étant compris entre — 1: et -i- ir. Il est facile de constater que ce résidu vp pourra s'approcher autant G4 J- HADAMARD. qu'on voudra d'un angle quelconque a. Car, si l'on prend k suffisam- ment grand, les quantités e**^"^*, e**^"*"*^*, dont la différence est égale au produit du nombre fixe e"^ — c" par le nombre très grand c^'^y comprendront certainement un nombre entier, et même autant de noml)res entiers qu'on le voudra. En particulier, prenons a == o et soient m et m -h i les deux entiers consécutifs qui comprennent le nombre e**^. Les valeurs de L m et de L(m + i) Seront respectivement de la forme ^**"-^ ou ^>^*^-*"^, et par suite leurs sinus seront de signes contraires. La formule (Oi) donnera donc pour le rapport ^^^^^ une valeur négative». Ci Envisageons maintenant le rapport ^'""^* - D'après ce que nous sa- vons sur L(m -t- i) et h(m -+- 2), les sinus de ces deux quantités se- ront sensiblement égîiux à L(/7^ -f- 1) — 2Atc et L(/n -+- 2) — ^kn. Or la quantité L ^^^ peut se remplacer elle-même, à un infiniment petit d ordre supérieur près, par — jjpj^ ' ? et, de même, a L ^^.^ on peut substituer — jjp^^ i . Le rapport ~^^ est donc infiniment peu différenl ni -4— 2 — — c^^^ . . . ^ d^ ïkn* quantité évidemment supérieure à 2. De même, ^^r^ . 3 sera supérieur à e, et ainsi de suite. Au contraire, ^ " pourra se remplacer par ,^^_ — -— t> qui est plus petit que -, et l'on pourrait opérer d'une façon analogue pour 7 /w-l o Ainsi nous voyons que ce rapport ^^^^* peut prendre, et cela aussi loin (ju'on voudra dans la série, des valeurs plus grandes que 2 — e, ou plus petites que --+-£, ou même négatives. Il est donc établi que ce rapport ne tend pas vers l'unité. Si, par exemple, on part de la fonction = Sa;", on en déduira par notre transformation la fonction ((i2) 2s'nL(/n)a-™, mzrl ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 65 laquelle admettra pour point singulier unique le point rr = i , sans que le rapport de deux coefficients consécutifs ait pour limite Tunité. On pourrait, il est vrai, objecter que la transformation (Sg), tout en n'introduisant aucun point singulier, peut avoir fait disparaître ceux qui existaient auparavant. Mais ici nous sommes assuré du con- traire par la considération du cercle de convergence. Il résulte, en effet, de ce qui précède que sin Lw a une infinité de valeurs voisines de i . Le rayon de convergence de la série (G2) est donc égal à l'unité, et, par suite, la fonction qu'elle représente possède sur le cercle de rayon i un point singulier, lequel ne peut être, comme nous le savons, que le point .r = i . 39. Nous introduirons encore une notion prélijiliûdrc relative, celle-ci, aux fonctions continues et voisine de la notion connue de fonc- tion à variation limitée. Nous dirons qu'une fonction continue, réelle ou imaginaire, de la variable réelle x est à écart fini dans un intervalle (a, &), lorsque les intégrales /i icos/io: /(a;) rfd:; ci n j sin fix /(x) dx ^ prises entre des limites quelconques intérieures à l'intervalle (a, 6), restent finies et moindres en valeur absolue qu'une quantité fixe I lorsque n augmente indéfiniment. Cette quantité I sera dite Vécart de la fonction dans l'in- tervalle (a, b). Une fonction à écart fini reste à écart fini lorsqu'on effectue un chan- gement de variable tel que a; = Xa;'-t- [x. Car cette transformation change les intégrales précédentes en d'autres qui en dépendent par des relations linéaires à coefficients finis. Une fonction à variation limitée est nécessairement à écart fini. En particulier, une fonction est toujours à écart fini lorsqu'elle a une dérivée finie. En effet, soient a', b' deux nombres compris dans l'inter- valle (a, b). Pour évaluer l'intégrale ^ ^i/ Jf n cos nx/(x)dx = f /(x)d(sinnx)j nous décomposerons l'intervalle (a', 6') en intervalles partiels dont chacun (les deux extrêmes exceptés) aille de — à ^"^ • Dans cha- H. û G6 J. HADAMARD. cun de ces intervalles, nous pourrons remplacer / par |ji;^ 4- 6S^, le nombre (X;^ étant le minimum de /dans Tintervalle considéré, ô^ son oscillation, une quantité variable comprise entre o et i. L'intégrale prise dans Tintervalle partiel se décompose donc en deux, dont Tune est nulle et l'autre plus petite en valeur absolue que 8^. Pour les inter- valles extrêmes, le minimum [x est infiniment voisin de f(a') ou de /(&'); l'oscillation S est infiniment petite, de sorte que l'intégrale est infiniment voisine de /(a)sinna ou de /(b')sinnb\ Notre inté- grale totale est donc moindre en valeur absolue que i;s*+i/(«)i+i/(/o: et reste Iauiu sM'a foîîctioti tfôùnèé'c&t i, variation limitée. On pourrait rechercher si l'inverse a nécessairement lieu, auquel cas la notion que nous introduisons se confondrait avec celle de fonc- tion à variation limitée. En tout cas, elle est distincte de la notion de fonction continue, ce que nous constaterons sur la série (i i) (i*** Partie, n° 12). M. Weierstrass a démontré que si, dans cette série, on fait X = e'^, la partie réelle de l'expression ainsi obtenue est une fonction continue, mais non à variation limitée, de l'argument G. Nous recon- naîtrons plus loin que cette fonction n'est pas non plus à écart fini. En multipliant une fonction / à écart fini par une fonction con- tinue ^, qui varie toujours dans le même sens, on obtient encore une fonction à écart fini, et le nouvel écart est égal à l'ancien, multiplié par deux fois la plus grande valeur absolue que prenne le multiplica- teur. C'est ce que l'on reconnaît en appliquant à l'intégrale "/+/ cos nxdx le second théorème de la moyenne. Si la fonction j/ a un nombre fini de maxima et de minima, on obtiendra le nouvel écart en multipliant l'ancien par la plus grande valeur absolue de ^ et par le nombre des maxima et minima. Une fonction est à écart fini pour une valeur de la variable, si Ton peut trouver un intervalle comprenant cette valeur et dans lequel la fonction soit à écart fini. ESSAI SUR L^ÉTUDE DES FONCTIONS. 67 Lorsqu'une fonction n'est pas à écart fini dans un intervalle (a, 6), c'est qu'il existe dans cet intervalle une ou plusieurs valeurs de x pour lesquelles la fonction n'est pas à écart fini. Ceci se voit à la manière ordinaire, en décomposant l'intervalle (a, i) en parties de plus en plus petites, de façorrà former une double série de nombres tendant vers une limite commune. Enfin, la notion d'écart se définit sans difficulté pour les fonctions de variable imaginaire. L'écart d'une fonction le long d'une portion de courbe donnée, de longueur /, sera l'écart de la même fonction consi- dérée comme fonction de l'arc de cette courbe compté à partir de l'une des extrémités de la portion donnée et variant de o à /. iO. Cela posé, nous considérerons, ainsi que nous nous le sommes proposé, une fonction définie par la série (2), dont nous supposerons le rayon de convergence réduit à l'unité, et nous démontrerons tout d'abord la proposition suivante : Si la série^a,„^ former par les cocjjficients de la série (2), est absolument convergente, et de telle façon que mhmaj„ tende vers o, la fonction f(^x) sera finie, continue et à écart fini sur le cercle de convergence. Les deux premières parties se voient immédiatement, la série (2) étant, dans les conditions de l'énoncé, uniformément convergente à rintérieur du cercle de convergence et sur ce cercle. Pour démontrer la troisième, nous désignerons par 6 l'argument de la variable x qui décrit le cercle de rayon i, et, au lieu des intégrales Jc^ ' r cosnô/(^'^)rf6, n\ sin/iO/(r''^)rfO, nous considérerons, ce qui •X •-• a revient évidemment au même, les expressions n f e'*'^ f (e'^) dh , n I e~"^^f(e'^)dO. La série (2) étant uniformément convergente, nous pouvons remplacer / par son développement et intégrer terme à terme. On trouvera ainsi, pour la première intégrale, la valeur 2 — '±-^ a„\e^"'^"''^ - e^'"^"^% quantité plus petite que 2S, si S dé- ms.0 IP -^■^^■^^■■^^•ilBI 68 J. HADAMARD. signe la somme de la série V[a^|. La seconde intégrale prendra la forme 2 — —- a^le^'"""^'^ — ^f'"~"''*], où il faudra seulement, si n est /A 4-0 un entier, remplacer le terme correspondant km = n par na„(oL — ^). Ayant choisi un nombre fixe k plus petit que i et un nombre fixe K plus grand que i , nous diviserons les termes de la série en cinq parties. La première partie comprendra tous les termes dont le rang est moindre que Av*. Pour chacun de ces termes, la quantité est, en valeur absolue, moindre que -^tt' de sorte que la somme partielle ainsi obtenue a un module inférieur à > • Tout pareillement, une seconde partie sera formée des termes à indices plus grands que K/i. La quantité — -- étant alors constam- ment moindre que ^i^r^ ' ^^^^^ seconde partie sera inférieure à |t . \ous isolerons, pour en former un troisième groupe, les deux termes dont les indices Hq et n^-h i comprennent le nombre //, ou le terme de rang n^ si n est entier. Dans ce dernier cas, le terme corres- pondant de notre intégrale, étant égal k na^{oL — p), est très petit si // est très grand. Il en est de même dans la première hypothèse; car le nombre n — /^o, par exemple, est plus petit que i, et, d'autre part, comme on peut évidemment, sans changer les expressions que nous avons à considérer, augmenter a ou ^ de 2 A::, la différence a — ^ peut être supposée inférieure à iz en valeur absolue. La quantité .^(/'o-'O/p __ ,,(".-")'« =^ 2«A'""'^sin (^o'-^)(«-^ ) aura son module moindre que {n - n^){cL - P), ce qui, en multipliant par ^^> donne un produit moindre que na„^((x. — P), et Ton arri- verait à une conclusion analogue pour le terme de rang n^-i- i . Enfin, le quatrième groupe comprendra tout ce qui est intermédiaire entre le premier et le troisième; et le cinquième, les termes intermé- diaires entre le troisième groupe et le deuxième. Les parties de nos ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 6<) intégrales correspondant à ces deux groupes tendront vers o lorsque n augmentera indéfiniment. Soit, en effet, a\\e plus grand coefficient qui fasse partie de l'un de ces groupes. Ce groupe donnera dans l'intégrale une partie moindre que na\ ( i H h . . . H- -)> où v désigne le nombre des termes du groupe, lequel est, ainsi que X, dans un rapport fini avec n. Or la quantité entre parenthèses est, comme Ton sait, de l'ordre de Lv, et, par suite, le produit tend verso; car nous avons supposé, en commençant, que XLX.ax était nul pour A infini. La seconde inté- grale / e '"^/(e^^)d^ est donc finie comme la première et notre pro- position est établie. Nous obtenons, en outre, une expression de l'écart. Cet écart est de la forme /Ir, S -h Ar^ ^a, où /t, et /c.^ sont des nombres finis, [x désignant la plus grande valeur de mhm\a,n\- Réciproquement, si la fonction f est finie, continue et à écart fini sur le cercle de convergence, la série formée par ses coefficients sera absolument convergente, ou si elle ne Vest pas, elle le devien- dra lorsqu'on remplacera f{x) par (ô;^*/(x), le nombre t étant po- sitif, mais aussi petit qu'on le voudra, et la convergence ayant lieu de telle façon que mhmam tende vers o. Pour démontrer cette réciproque, nous aurons recours aux expres- sions des coefficients sous forme d'intégrales définies l'intégrale étant prise suivant un cercle intérieur au cercle de conv(;r- gence. Tout d'abord, puisque la fonction donnée est finie et continue et par suite, comme on sait, uniformément continue à l'intérieur du cercle de convergence et sur ce cercle, on peut prendre l'intégrale sur le cercle même, la différence des intégrales prises sur les circonfé- rences de rayons i et i £ étant infiniment petite avec £. On a ainsi JO i. HADAMAnn. Or cette intégrale, si nous supposons la fonction à écart fini, est au plus de Tordre de — • Si nous la multiplions par— ^> ce qui revient a remplacer /{x) par ûO^*/(^), elle deviendra le terme général d'une série absolument convergente dans les conditions indiquées. Si Ton considère, par exemple, la série (ij) I -hbaf-h ... -hb''af''-h . . ., dont il a été question précédemment, on voit que, si | 6c| > i, le mo- dule de a,n ne devient pas constamment plus petit que — » puisque, pour m r= c^, on a ma,„ = {bcy. La fonction représentée par cette sé- rie n'est donc pas à écart fini sur le cercle de convergence. Elle ne l'est même sur aucun arc de ce cercle, sans quoi nous pourrions rai- sonner comme au n° 12 (première Partie) et montrer qu'elle serait également à écart fini sur tous les arcs se déduisant du premier par des rotations successives d'angle-;^*» lesquels, si petit que soit l'arc donné, recouvriront par leur ensemble la circonférence entière si h a été pris suffisamment grand. De ceci nous pouvons également conclure que la fonction considé- rée, pour I 6c I > I, est à variation illimitée sur tout arc de cette cir- conférence, allant ainsi un peu plus loin que M. Weierstrass, le(|uel n'avait établi le fait que pour | Z^c j > i H -"• 41. Des théorèmes précédents résulte que si /est finie, continue et à écart fini sur le cercle de convergence, il on est de même de toutes les fonctions (î)"^*/ (où a > o). Nous nommerons ordre de la fonction sur un arc du cercle de con- vergence le plus petit ( ' ) nombre (o tel que c0^***/(ip) soit, sur cet arc, fini, continu et à écart fini, ou le plus grand nombre tel que cO^*^/(.r) ne remplisse point ces conditions; en un mot, un nombre tel que (0~^~®/(cr) soit fini, continu et à écart fini, quel que soit le nombre (*) Ce mot est pris dans son sens algébrique; il n^est pas relatif à la valeur absolue. ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 71 positif e, mais que l'une de ces propriétés fasse défaut à ^"'*'*/(^)- Le nopibre (o sera ainsi défini dans tous les cas ; il pourra se faire qu'il soit égal à ± oo. La somme de deux fonctions d'ordre (o est d'ordre au plus égal à a>; la somme de deux fonctions, l'une d'ordre co, l'autre d'ordre moindre, est nécessairement d'ordre (o. Si maintenant nous faisons intervenir les théorèmes que nous ve- nons de démontrer, nous arrivons à cette nouvelle définition de l'ordre : U ordre d' une fonction f le long de son cercle de convergence est égal à la limite supérieure y pour m infini^ de | '" > augmentée d^une unité. Soit, en effet, a> — i cette limite supérieure. On aura, à partir d'une valeur de m suffisamment grande, e , \a,^\ tel que ®^***"~^/(-^) soit fini, continu et à écart fini autour du point Xo, mais non (ô^***"^'/(x'). Les seuls points pour lesquels il y ait lieu de considérer r ordre sont les points singuliers; en un point ordinaire l'ordre est manifes- tement égal à — 00. A la définition précédente on peut évidemment substituer celle-ci : une fonction sera d'ordre co au point Xq s'il existe un arc comprenant ce point et sur lequel la fonction soit d'ordre o). Une fonction d'ordre co sur un arc quelconque présente sur cet arc au moins un point d'ordre co, ainsi qu'on le reconnaît encore par le procédé qui consiste à diviser l'arc en parties de plus en plus petites. ^2 J. HADAMARD. La réciproque (*) étant évidemment vraie, on peut énoncer la propo- sition suivante : II ordre d^une fonction sur un arc du cercle de convergence est égal au plus grand des ordres qu'elle prend aux différents points de cet arCy à laquelle nous ajouterons : Si une fonction présente aux empirons de x^^ une infinité de points oii l'ordre soit infiniment t)oisin de (o, son ordre au point x^ est au moins égal à w. iMvfin la liaison entre les ordres d'une fonction sur le cercle et sur ses différentes parties est encore montrée par le théorème suivant : ■ Une fonction d'ordre w sur un arc déterminé et en ses points extrêmes peut être remplacée par une somme de dewc fonction^y dont l'unf est d'ordre égal à (m ou dépassant o) d'aussi peu qu'on le t)eut sur le cercle entier^ et l'autre est holomorphe en tous les points de l'arc considéré. Envisageons, en effet, la fonction (p = (t>i""~^/(^), qui est finie, con- tinue et h, écart fini sur l'arc donné. Par les deux extrémités de cet arc faisons passer une circonférence quelconque acb (fig- 6); puis, avec Torigine comme centre, décrivons un arc de cercle gd^ h de rayon i — r^ (où Y) désigne un nombre positif infiniment petit). Les deux arcs de cercle, qui se coupent aux points g et /i, délimitent une aire T où la fonction ç est holomorphe et où l'on peut lui appliquer la méthode de M. Appell. On aura ainsi où et (*) C'est-à-dire qu\ine fonction qui présente sur un arc un point d'ordre w est, sur cet arc, d'ordre au moins égal à w. ESSAI SUR l'ÉTCDE des FONCTIONS. ■j'i Mais dans ces égalités nous pouvons maintenant supposer que le cercle gd,h ae soit autre que le cercle de rayon i lui-même; car si nous faisons tendre ï) vers o, les intégrales o, et ç, varieront continû- ment, puisque 9 est continue. Fig. 6. La fonction ç, est alors développable on série de la forme ïX„a/", où X„ est donné par la formule x.= ji-jf^iii.!rf.-, laquelle montre immédiatement, puisque ç(i) est à écart lini, (pie le module de X,„ est plus petit que — > le nombre k étant fixe. D'ailleurs, Oj est aussi développable en série de Maclaurin, puisque c'est la difTé- rence de deux fonctions développablcs. Formons maintenant les fonctions/, = {0^*'9, el/i= n-^"*'?, dont la somme doimera la fonction y. La première est d'ordre tu + £ au plus sur le cercle entier, puisque le coeflicient du terme en .r'", à savoir Xm/H**", est plus petit que Am**^"'. La seconde/^ est bolomorplie sur l'arc donné. Le lliéorème est donc démontré. Il semble que le raisonnement précédent n'établisse pas la régularité de /a aux points a et b, extrémités de l'arc donné. Mais nous avons déjà remarqué que la fonction y, qui est d'ordre au plus égal à m au point a, est nécessairement du même ordre sur un petit arc aa' contigu au point a. En opérant de même pour l'extrémité b et portant à la suite de l'arc ab un petit arc bb', on pourra refaire la démonstration en partant de l'arc a'b', ce qui supprime toute difficulté. I). 10 74 J» HADAMARD, 43. Nous avons défini l'ordre en considérant (Sb'^^ f{x). Mais à cette expression on peut tout aussi bien substituer x'^Y)'^^ f{T)j d'après ce que nous avons remarqué au n° 55. Cette dernière fonction nous sera plus commode pour l'étude que nous allons entreprendre maintenant, et qui consiste à rechercher com- ment Tordre d'une fonction au point Xq est lié à son ordre de gran- deur autour de ce point. Mais cette étude ne sera pas également facile dans tous les cas. Si, en efl'et, on suppose, par exemple, que notre fonction soit une A somme de termes de la forme r=> où les a sont positifs, l'ordre au point x^ sera nécessairement le plus grand des nombres a. Il n'en sera pas de même dans les cas où l'ordre sera négatif et où notre fonction sera une somme de puissances positives de x — x^. Car alors il peut se faire que le terme de moindre degré en x — x^^ soit un terme holomorphe qui n'aurait aucune influence sur l'ordre. Par exemple, la fonction X{x — Xq) -h B(a7 — Xq Y n'est pas d'ordre — i , mais bien d'ordre — \. Aussi nos propositions fondamentales seront- elles établies exclusivement pour les ordres positifs, ce qui ne nous empêchera pas d'étendre leurs principales conséquences aux ordres quelconques. En premier lieu, si la fonction f a, sur un arc déterminé et à srs extrémités, un oindre inférieur au nombre positif oi^ et que Von dé- crive y avec un rayon voisin de l^ unité y un arc de cercle limité aux mêmes rayons que le premier {fig- 7) : i" Le produit (i — p)*^/(p^'^) tend vers o, et cela uniformément, quel que soit l'argument 0, pourvu que le rayon correspondant coupe l'arc donné; 2** Si I désigne l'écart sur l'arc de cercle de rayon p, le produit (^i — p)***I tend aussi vers o. Supposons d'abord la fonction d'ordre moindre que co sur le cercle entier. Le quotient —^în tend vers o pour m augmentant indéfiniment. www Si nous désignons par C" le coefficient de x'" dans le développement de r^> nous pourrons dire» encon^ que le quotient p^, tend vers o. 1 1 ' ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS. 75 m W-1 Car la quantité G;^ = ^^^ ^t!1X^^) ^^^ comparable à ~^, ainsi qu'on l'a vu au n^ 5a. Si donc £ est un nombre donné aussi petit qu'on le veut, on a, à partir d'une certaine valeur m^ de /?i, ««i<-;g^ On peut admettre que cette inégalité est vérifiée aussi pour les va- leurs de m inférieures à /Wo, sauf à ajouter un polynôme (j?(a;) de de- gré m©. La fonction / sera donc constamment plus petite que : 2 ?"G (1) m il viendra (i-pri/(x)i en appelant o>' un nombre plus petit que co, mais plus grand que Tordre de la fonction donnée. Si nous rempla- çons p par î — Y], nous voyons que nous avons à considérer la plus grande valeur de la quantité (i — Y))"*//i*''V,*** et à rechercher ce que de- vient ce maximum lorsque yj tend vers o. Kn écrivant que la quantité en question s'accroît par le changement de m en m-hi, nous trouvons que m doit être plus petit que !— j Si m^ désigne le plus petit entier supérieur à cette limite, (r^,)- nous voyons que notre expression croît jusqu'à m = /?io et décroît en- suite. Le maximum a donc lieu pour m = fn^. D'ailleurs, m^ peut être remplacé par —, à une erreur près qui reste finie pour rj infiniment petit, et, par suite, ne peut altérer que dîins un rapport fini le produit qui nous occupe. Ce dernier prend alors la forme (,-r.r(^') rr. Le premier fiicteur a pour limite r**'; le produit des deux autres tend vei*s o. La seconde partie de notre théorème est donc aussi établie. Nous avons, il est vrai, supposé quc/{x) est d'ordre moindre que (o sur le cercle entier; mais on ramène le cas général à celui-là en ajou- tant une fonction holomorphe sur Tare donné (n** 42). Si la quantité \^_[ > au lieu de tendre vers o, avait une hmite quel- conque A, le raisonnement donné plus haut conduirait à ce résultat, que le produit /{^x){^\ — .r'i" aurait pour limite A (') toutes les fois l^M Ce ihéorème» pour le cas des séries réelles, a élé établi par M. .Vppell yCompif^s rendus quelque petit que soit l'exposant. 46. Ceci nous donne tout d'abord la détermination de l'ordre dans les cas les plus usuels. En premier lieu, pour toute valeur négative de r, l'ordre de (x — x^y est évidemment égal à — r au point x„. Il en sera de même, d'après les remarques précédentes, pour les fonctions (x - XoX'l^ (^ — XoY^h^(x - o^o), où ']f est une fonction satisfaisant aux conditions indiquées ci-dessus et h un entier quelconque. Du moins l'ordre de ces fonctions sera au plus égal à — r. Mais il faut remarquer que Tordre de (x — x^yh^(x — x^) ne saurait être moindre que — r (n** 45). Envisageons maintenant, pour une valeur positives de r, la fonction (x — x^y<Èh(x -— Xo), où a\est un polynôme (*). Si r est un entier et que ^S se réduise à une constante, la fonction est holomorphe. Dans le cas contraire, la dérivée de cette fonction sera de la forme (x — Xo)''~*^JP,, et, en général, la dérivée d'ordre E sera de la forme Çx — x^y^^^f^. Cette dernière expression, si E a été choisi supérieur à r, est de l'ordre E — r, puisqu'elle rentre dans celles qui viennent d'être étudiées. Il en résulte que la fonction donnée est de l'ordre — r. Or le cas qui se présente le plus fréquemment est celui où la fonc- tion non holomorphe au point x^ se présente autour de ce point sous (') L'ejtpression fjp pourrait d'ailleurs contenir des puissances négatives de L{ûc — Xq) sans que nous ayons à modifier la suite de nos raisonnements. Ko J. lUDAMARD. hi ïoviur où 1rs ri Honl (l<»s nombres (juolcon((iics, positifs ou négatifs, les A, des entiers posilifs et les 'j»/ (l(\s fonctions régulières. On voit alors que Tordre de la première [uirtic est égal au plus petit des nombres r. eluingé de signe», en (»xeeptant ceux pour lesquels Ç, se réduit à une constante, /v étant un entier positif. (^)uanl à la second<» [)artie, elle ne modifie en aucune façon Tordre, parce cpu» la fonction ('' — ./'oX''^''^'' ^^^ d'ordre au plus égal à •" /'/ — ''/• ^''**<*t résulte du tiiéorème suivant : •17. On nr saurait augmenter V ordre d^une fonction sur un arc ifuelvonque en la multipliant par une fonction holomorphe en tous les points de cet arc. On est même assuré que Vordre n^a changé en aucune façon , si ta fonction multiplicatrice ne s*annule en aucun point de l'arec. Vax premier lieu, une fonction holomorphe jouissant de toutes les propriétés };, nous savons dejii que si Tordiv de lu fonction donnée est positif, il ne pourra pas éti^' augmenté par la multiplication. De plus le même raisonnement prtMue tpie si Tordiv était plus petit qu*un nombi*e positif quelconque il ne peut de\onir plus grand que ce même nombre. En particulier, s'il était négatif ou nul, il ne peut devenir positif. Soit nuiinteuaut une fonction d'onlre négatif — r sur Tare a^, que Ton nudtiplie j^ir une fonction ^ ivguliérele long du même arc: soitE le phis polit ontior supérieur à r, do sorte que la dérivéo E**^ de i est d\n\liv jH^silif K — r. La formule do Loihnitz nous donne pour la dô- riN IV l\**^^ du pnHlnil/^ une somme do tonnes de la forme DJ^"*/. D* i nudiiplios j^ir dos i^HMlîcionls numoriquos. Or, jH>ur A- différent de o. Kl doriNoo 1^^'"*/' est d*onlr\* négîilif ou nuK el reste telle après ia mulliplicatiou |Mr iVrr* d^apnî^s la romartpio qui vient dVlre faîte, l^naul à DÎ/\ il a |HHir ortlrt* le nombrv E — r, lequel est pi>sitif« ot, |Kir suito^ n'o>l |ms augmoulo |Mr la multiplication. La dérivoo ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 8l giéine de/^ est donc bien au plus d'ordre E — r, de sorte que/^ lui- même ne peut être d'ordre supérieur à — r. La seconde partie du théorème résulte de la première ; car, si ^ ne s'annule pas sur l'arc donné, les deux fonctions ^ et/ sont toutes deux holomorphes le long de cet arc, de sorte que Tordre ne peut être ni augmenté ni diminué. Enfin, nous énoncerons encore, dans le même ordre d'idées, une dernière proposition : Quand on multiplie entre elles deux fonctions d* ordre positifs l'ordre du produit est au plus égal à la somme des ordres des fac- teurs. Soient o) et co' les deux ordres, que nous supposerons d'abord pris sur le cercle de convergence entier; e un nombre positif très petit. Les coefficients de af^ dans les deux séries seront, à partir d'un certain rang, plus petits respectivement que G*^^ et Gjf,'"^* (n° 45). Supposons les coefficients moindres que les limites précédentes pour toutes les valeurs de /n, ce que l'on peut faire en retranchant des deux séries des polynômes $ et ^^ convenablement choisis. La formule de multiplication des séries ne contient que les signes -h et X , à l'exclusion de tout signe — . Le coefficient de cxf^ dans la série produit est donc moindre que le coefficient de x^ dans le produit (i_l)a>-He (1— -^yST^e' c'est-à-dire que G^-^"^'\ Quant aux parties complémentaires provenant des polynômes $ et $', elles sont d'ordres (I) et (o' au plus. Si les ordres o) et co' sont ceux des fonctions données sur une partie seulement du cercle, on les transformera en fonctions d'ordres infé- rieurs à 0) -h £ et o)' -h £ sur le cercle entier par la soustraction de fonc- tions régulières (n** 40). Ces dernières à leur tour, en vertu du théo- rème précédent, ne donnent dans la multiplication que des produits partiels d'ordres co et co' au plus. Le produit total est donc d'ordre moindre que w -t- co'-i- 2e. Notre théorème est par suite démontré, puisque £ peut être pris aussi petit qu'on le veut. 48. Les théorèmes précédents vont nous permettre de calculer la H. 1 1 tSo J. HADAMARD. valeur rfr la fonction donner en un point ordinaire du cercle de comergence, pourvu toutefois que Tordre sur ce cercle soit un nombre fini. Soit, on elTet, to col ordro supposé positif (*); soit x^ un point ordi- naire du cercle où la fonction ait la valeur A, de sorte qu'elle puisse se melti^e sous la forme ^ dôsijî^nant une fonction régulière autour du point x^. Prenons un nombre a>' plus grand que to et multiplions / par r-jy = 2^ x*^ —• En tout point du cercle autre que x^ Tordre restera invariable, en vertu du n" i7. Au point x^^ Tordre sera donné par le terme ^ , et sera, par suite, plus grand que ci>. Donc la partie principale des coefficients de — r-^^ provient de ce tonne '■ ;j. > de sorte que le rapport des coefficients correspondants f \ dans les développements de = — r-^ et de ^ ^ a pour limite l'unilo. Il en résulte ■^=1 Il est clair que le second membre pourrait s'écrire sous forme d'une série, de sorte qu'on a la proposition suivante : Thkorkmk. — 5/ la série ^2 > est d^ordre Jini xur /#* cercle de cow- i>»#'iffvi(v\ on peut former une série de polynômes qui com-erge et représente ia fonction, non seulement à rintèrieurdu cercle^ mais encore en tout point non singulier de la circonfêrenc**. V*> Si welail nei:alif, il vU^rviii être ivmplacè par o dan< le> rai=-'4:'-c-.i;)/w, ce qui montre que si ( i — -- j /{x) es>t d'ordre moindre que /{x), de même ( i — ^j/\x) sera d'ordre moindre que /{x) et inverse- ment. De proche en proche, la conclusion s'étend à toutes les valeurs entières et positives de a. D'ailleurs, pour 3t négatif, l'intégrale / (^i — / ) * \f{ tx) I i — ]dt peut s'écrire (66) - f (i -/) «/(^/x)///-h( I--) \\\^i)-^-'fi^(x)iU. V Sidonc/(x)l i — - j est d'ordre moindre que Tordre co de/(a:K l'expression (66) est d'ordre moindre que (o -f- a et, comme il en est de même de son premier terme, il en est aussi de même du second. Inversement si, f\,x^ étant d'ordre co, la fonction ( i )x'D^/( x) est d'ordre moindre que to -^- a, le produit de/(»r) par i — ~ sera d'ordre moindre que to. ESSAI SUR l'étude DES FONCTIONS. 85 Étant démontrée pour a négatif et pour a positif et entier, notre? proposition est générale. 50. Quoiqu'il en soit, supposons que, /(a?) étant d'ordre co, tous les points singuliers d'ordre (o appartiennent à la classe que nous venons de considérer. On abaissera l'ordre de tous ces points et, par suite, l'ordre de la fonction sur le cercle en multipliant notre fonction par le polynôme * \ •'^•0/ ■ \ -'V-i/ Lm qui a pour racines les affixes de ces points singuliers. Dès lors la recherche de ces points singuliers est ramenée à un pro- blème que nous avons traité dans la deuxième Partie (n*** 2,i et sui- vants). La fonction M, qui figure dans l'énoncé du n** 25, est ici égale à m. D'après les conclusions auxquelles nous sommes parvenu en cet endroit , // faudra former avec p H- i indices m^, m^^ . . . , nip un déterminant A^S|^ ,„ , considérer la plus petite des quantités et rechercher la limite supérieure du quotient ainsi obtenu pour m^, . . ., m^ infinis. Si l'on fait cette opération pour /? = 1 , 2 , . . . , /a première valeur dep qui donnera un résultat moindre que (0 — 1 sera égale au nombre des points singuliers d'ordre (o. On trouvera, d'ailleurs, ces points eux-mêmes, ainsi qu'il a été indiqué au n« 28. Si l'on a p = I , l'affixe Xq du point singulier sera, comme nous l'avons vu, la limite du rapport — '-^y mais en ne prenant que les va- leurs principales de a^. Si cependant, autour du point x^, la fonction pouvait se remplacer par — — — -y augmenté d'une fonction d'ordre moindre que co,*le rapport '- tendrait régulièrement vers x^. Mais il n'en est pasnéces- sairement ainsi. Nous en avons vu un exemple dans la fonction (G'2) VsinL/nx'", 86 1 ' J. H\DAM\RD. — ESSAI SUR L ETUDE DES FONCTIONS. qui admet pour point singulier unique le point x = i. Ce point ap- partient bien d'ailleurs à la classe qui a été considérée au numéro précédent; car, si Ton multiplie la fonction par i — a?, le coefficient de x'^ deviendra sinLm — sinL(m —- 1) = 2cos - lj\m(m — t)] sin - L [ i -h _— ); le dernier facteur est de Tordre de — » alors que les autres donnent un produit plus petit que 2. Après la multiplication par i — a?, la fonc- tion (C2) est donc devenue d'ordre o, tandis qu'elle était d'ordre i auparavant. Malgré cela, nous avons constaté que le rapport -^ ne tendait pas vers Tunité. /«-hl Vu et approuvé : Paris, le 20 janvier 1892, Le Doyen dr la Faculté, G. DARBOUX. Vu et permis d'imprimer : Paris, le 11 janvier 1892. Le Vice-Rbgteur de l'Académie de Paris, GRÉARD. SECONDE THÈSE. PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ. Résolution algébrique des équations. — Théorèmes d'Abel et de Galois. Vu et permis d'imprimer : Paris, le 22 janvier 1892. Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris, GRÉARD. Vu et approuvé : Paris, le 20 janvier 1892, Le Doyen, G. DARBOUX x8l64 PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS, QUAI DES GRAXDS-AUGUSTINS, 55 > L